Calculateur de Sommet et d'Axe de Symétrie

Calculateur de Sommet et d'Axe de Symétrie

Bienvenue sur notre Calculateur de sommet et d'axe de symétrie, un outil en ligne gratuit qui vous aide à trouver le sommet (point maximum ou minimum) et l'axe de symétrie de toute fonction quadratique (parabole) avec des instructions détaillées étape par étape. Que vous soyez un étudiant découvrant les paraboles, préparant l'algèbre ou le pré-calcul, ou un enseignant créant des exemples, ce calculateur fournit des explications claires du processus de calcul.

Qu'est-ce qu'un Sommet ?

Le sommet d'une parabole est le point où le graphique change de direction. C'est soit le point le plus haut (maximum), soit le point le plus bas (minimum) du graphique, selon que la parabole s'ouvre vers le bas ou vers le haut.

Pour une fonction quadratique de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

• Si $a > 0$, la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un point minimum
• Si $a < 0$, la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un point maximum
• Le sommet est situé au point $(h, k)$, où $h = -\frac{b}{2a}$ et $k = f(h)$

Qu'est-ce que l'Axe de symétrie ?

L'axe de symétrie est une ligne verticale qui passe par le sommet d'une parabole, la divisant en deux moitiés symétriques (images miroir). Chaque point d'un côté de la parabole a un point correspondant de l'autre côté qui est équidistant de l'axe de symétrie.

Pour une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$, l'axe de symétrie a pour équation :

$x = h = -\frac{b}{2a}$

Comment trouver le sommet et l'axe de symétrie

Suivez ces étapes pour trouver le sommet et l'axe de symétrie d'une fonction quadratique :

Étape 1 : Identifiez les coefficients

Écrivez la fonction quadratique sous forme standard $f(x) = ax^2 + bx + c$ et identifiez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

Étape 2 : Trouvez la coordonnée x du sommet

Utilisez la formule $h = -\frac{b}{2a}$ pour calculer la coordonnée x du sommet. Cette valeur est également l'axe de symétrie.

Étape 3 : Trouvez la coordonnée y du sommet

Substituez $h$ dans la fonction pour trouver $k = f(h)$, la coordonnée y du sommet.

Étape 4 : Énoncez le sommet

Le sommet est le point $(h, k)$.

Étape 5 : Énoncez l'axe de symétrie

L'axe de symétrie est la ligne verticale $x = h$.

Forme canonique d'une fonction quadratique

La forme canonique (ou vertex form) d'une fonction quadratique est :

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

où $(h, k)$ est le sommet. Cette forme permet d'identifier très facilement le sommet simplement en regardant l'équation.

Pour convertir de la forme standard à la forme canonique :

1. Trouvez $h = -\frac{b}{2a}$
2. Trouvez $k = f(h)$
3. Écrivez $f(x) = a(x - h)^2 + k$

Exemples

Exemple 1 : Fonction quadratique simple

Trouvez le sommet et l'axe de symétrie de $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Solution :

1. Identifier : $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$
2. Trouver h :
   $h = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$
3. Trouver k :
   $k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
4. Sommet : $(2, -1)$
5. Axe de symétrie : $x = 2$
6. La parabole s'ouvre vers le haut ($a > 0$), donc le sommet est un minimum

Exemple 2 : Fonction quadratique avec coefficient dominant

Trouvez le sommet et l'axe de symétrie de $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$

Solution :

1. Identifier : $a = -2$, $b = 8$, $c = -5$
2. Trouver h :
   $h = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
3. Trouver k :
   $k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$
4. Sommet : $(2, 3)$
5. Axe de symétrie : $x = 2$
6. La parabole s'ouvre vers le bas ($a < 0$), donc le sommet est un maximum

Applications du sommet et de l'axe de symétrie

Comprendre le sommet et l'axe de symétrie est important pour :

• Problèmes d'optimisation : Trouver des valeurs maximales ou minimales dans des situations réelles
• Graphique de paraboles : Le sommet est un point clé pour esquisser le graphique
• Mouvement de projectile : Le sommet représente la hauteur maximale d'un projectile
• Affaires et économie : Trouver le profit maximum ou le coût minimum
• Ingénierie : Concevoir des formes paraboliques pour des antennes, des ponts et des miroirs

Conseils pour utiliser ce calculateur

• Entrez des fonctions quadratiques en utilisant x comme variable
• Utilisez * pour la multiplication (par ex. 2*x au lieu de 2x)
• Utilisez ^ ou ** pour les exposants (par ex. x^2 ou x**2)
• Le calculateur fonctionne avec toute fonction quadratique, y compris celles avec des fractions ou des décimales
• Examinez la solution étape par étape pour comprendre le processus

Foire aux questions

Quelle est la différence entre le sommet et l'axe de symétrie ?

Le sommet est un point $(h, k)$ sur la parabole, tandis que l'axe de symétrie est une ligne verticale d'équation $x = h$. L'axe de symétrie passe par le sommet.

Une fonction quadratique peut-elle avoir plus d'un sommet ?

Non, chaque fonction quadratique a exactement un sommet. Le sommet est unique et représente le seul point où la parabole change de direction.

Comment savoir si le sommet est un maximum ou un minimum ?

Regardez le coefficient $a$ dans la forme standard $f(x) = ax^2 + bx + c$. Si $a > 0$, la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum. Si $a < 0$, la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.

Puis-je utiliser ce calculateur pour des fonctions qui ne sont pas quadratiques ?

Non, ce calculateur est spécifiquement conçu pour les fonctions quadratiques (polynômes de degré 2). Les fonctions non quadratiques n'ont pas de sommet au même sens.

Ressources supplémentaires

Pour en savoir plus sur les fonctions quadratiques et les paraboles :

• Parabole - Wikipedia
• Fonctions quadratiques - Khan Academy
• Vertex - Wolfram MathWorld

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