傳說當卡爾·弗里德里希·高斯還只是個小學生時，他的老師要求全班計算從 1 到 100 的所有數字之和，希望以此讓他們忙碌。年幼的高斯立刻寫下了 5050，因為他意識到將首尾兩端的數字配對（1+100, 2+99, 3+98...）每一對的和都是 101，而這樣的配對共有 50 對。
— 卡爾·弗里德里希·高斯，約 1786 年
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連續數之和計算機
歡迎使用連續數之和計算機，這是一個優雅的工具，使用著名的高斯求和公式計算連續正整數之和。無論您是需要計算前 n 個自然數之和，還是計算任何連續整數範圍之和，本計算機都能通過分步數學解釋和視覺表示提供即時結果。
高斯求和公式
使用傳奇數學家卡爾·弗里德里希·高斯發現的公式，可以立即計算出連續正整數之和。這些公式將原本繁瑣的加法轉變為優雅的乘法。
前 n 個正整數之和
高斯公式
$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
從 n₁ 到 n₂ 的連續整數之和
通用公式
$$n_1 + (n_1+1) + \cdots + n_2 = \frac{n_2(n_2+1)}{2} - \frac{(n_1-1)n_1}{2}$$
也可以寫成：
替代形式
$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k = \frac{(n_2 - n_1 + 1)(n_1 + n_2)}{2}$$
年輕高斯的故事
理解公式
視覺證明：配對法
考慮求和 1 + 2 + 3 + 4 + 5：
- 將首尾配對：1 + 5 = 6
- 將次首次尾配對：2 + 4 = 6
- 中間的數字：3（半對）
每一對的和為 (n + 1)。有 n/2 對，總和為 n(n+1)/2 = 5×6/2 = 15。
代數證明
將總和寫兩次，正序和倒序：
S = 1 + 2 + 3 + ... + n
S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1
將兩個等式相加：2S = (n+1) + (n+1) + ... = n(n+1)
因此：S = n(n+1)/2
如何使用此計算機
- 輸入起始數字 (n₁)： 輸入序列的第一個正整數。使用 1 計算前 n 個自然數之和。
- 輸入結束數字 (n₂)： 輸入最後一個正整數。這必須大於 n₁。
- 點擊計算： 計算機將顯示總和，以及分步分解、視覺圖表和關於序列的其他統計信息。
實際應用
計算機科學
計算循環迭代、數組索引和算法複雜度。求和公式有助於分析嵌套循環的時間複雜度。
物理學
計算在勻加速運動下的總位移，或求量子系統中的離散能級之和。
金融
在金融建模中計算累計付款、複利模式和算術增長序列。
組合數學
計算人群中的握手次數、完全圖中的邊數或數學序列中的三角形數。
相關數學概念
三角形數
前 n 個正整數之和產生了三角形數：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... 這些數字代表可以排列成等邊三角形的物體數量。
等差數列
連續整數形成公差 d = 1 的等差數列。等差數列的通用求和公式為 S = n(a₁ + aₙ)/2，當 d = 1 時簡化為我們的公式。
求和符號
在數學符號中，從 1 到 n 的整數之和寫作：
Sigma 符號
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$
常見問題解答
前 n 個正整數之和的公式是什麼？
前 n 個正整數（1 + 2 + 3 + ... + n）之和等於 n(n+1)/2。這個優雅的公式歸功於數學家卡爾·弗里德里希·高斯，它允許在不逐個相加的情況下進行即時計算。例如，1 到 100 之和為 100 × 101 / 2 = 5050。
如何計算從 n₁ 到 n₂ 的連續整數之和？
要計算從 n₁ 到 n₂ 的連續整數之和，請使用公式：n₂(n₂+1)/2 - (n₁-1)n₁/2。或者，計算 (n₂ - n₁ + 1) × (n₁ + n₂) / 2，即將數字個數乘以他們的平均值。
誰發現了整數求和公式？
公式 n(n+1)/2 被著名地歸功於卡爾·弗里德里希·高斯，據報導他在上學時就發現了這個公式。當被要求計算 1 到 100 之和時，年幼的高斯將數字配對（1+100, 2+99 等），意識到每一對的和都是 101，共有 50 對，得出 5050。
什麼是等差數列？
等差數列是一系列數字，其中每一項與前一項的差是一個常数，稱為公差。對於連續的正整數，這個公差為 1。求和公式之所以有效，是因為連續整數形成了一個完美的等差數列。
計算連續整數之和有哪些實際應用？
計算連續整數之和在計算機科學（數組索引、循環計算）、物理學（計算勻加速運動的總距離）、金融（複合增長模式）、組合數學（計數排列）以及日常生活（如統計編號物品或計算累積得分）中都有應用。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
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由 miniwebtool 團隊。更新日期：2026年1月13日
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