複數是可以表示為 a + bi 形式的數，其中 a 和 b 是實數，i 是滿足 i² = -1 的虛數單位。a 稱為實部，b 稱為虛部。複數擴展了實數系統，在數學、物理和工程的許多領域中都是必不可少的。

複數計算機

Q: 如何在直角坐標形式和極坐標形式之間轉換？

從直角坐標 (a+bi) 轉換為極坐標 (r∠θ)：計算 r = √(a² + b²) 作為模，θ = arctan(b/a) 作為輻角。從極坐標轉換為直角坐標：計算 a = r·cos(θ) 作為實部，b = r·sin(θ) 作為虛部。

Q: 什麼是棣莫弗定理？

棣莫弗定理指出，對於極坐標形式的複數 z = r(cos θ + i sin θ) 和任意整數 n：z^n = r^n(cos(nθ) + i sin(nθ))。這個定理通過使用極坐標形式而不是重複乘法，使得計算複數的冪和根變得更加簡單。

Q: 如何找到複數的 n 次方根？

要找到 z = r∠θ 的 n 個 n 次方根，請使用公式：root_k = r^(1/n) ∠ ((θ + 2πk)/n)，其中 k = 0, 1, 2, ..., n-1。這將在複平面上給出 n 個不同的根，它們均勻分佈在半徑為 r^(1/n) 的圓上。

執行複數運算：加、減、乘、除、形式轉換、計算模、輻角、共軛、冪和根，提供詳細的分步解答和交互式複平面可視化。

複數計算機

快速示例 - 點擊試用

+ 加法 (3+4i)+(1-2i)

- 減法 (5+3i)-(2+i)

× 乘法 (2+3i)×(4-i)

÷ 除法 (6+8i)÷(3-4i)

|z| 模 |3+4i|

∠ 輻角 arg(1+i)

z̄ 共軛 conj(4-3i)

→∠ 轉極坐標 3+4i → r∠θ

→z 轉直角坐標 5∠53° → a+bi

zⁿ 冪運算 (1+i)⁴

ⁿ√ 開方 ³√8

z₁ 第一個複數

接受直角坐標 (a+bi) 或極坐標 (r∠θ°) 形式

⚙ 運算

z₂ 第二個複數

n 指數 / 方根次數

用於冪運算或開方運算的正整數

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複數計算機

歡迎使用複數計算機，這是一個強大的數學工具，用於執行複數運算，提供分步解答和交互式可視化。無論您是學習虛數的學生、分析交流電路的工程師，還是探索複平面的數學家，此計算機都能為您的所有複數計算提供全面的解決方案。

什麼是複數？

複數是可以表示為 $ a + bi $ 形式的數，其中 $ a $ 和 $ b $ 是實數，$ i $ 是滿足 $ i^2 = -1 $ 的虛數單位。數 $ a $ 稱為複數的實部，$ b $ 稱為虛部。

直角坐標形式

寫為 $ z = a + bi $，表示複平面上坐標為 (a, b) 的點。

極坐標形式

寫為 $ z = r \angle \theta $ 或 $ z = re^{i\theta} $，其中 r 是模，theta 是輻角。

虛數單位

符號 $ i $ 代表 $ \sqrt{-1} $，使得方程如 $ x^2 + 1 = 0 $ 有解。

支持的運算

算術運算

加法

$$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

減法

$$ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

乘法

$$ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

除法

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

複數性質

模 (Modulus)： $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ - 到原點的距離
輻角 (Argument)： $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ - 與正實軸的夾角
共軛 (Conjugate)： $ \overline{z} = a - bi $ - 關於實軸的反射

形式轉換

直角坐標轉極坐標

$$ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

極坐標轉直角坐標

$$ z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta $$

冪和根

棣莫弗定理 (冪運算)

$$ (r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta) $$

n 次方根

$$ \sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1 $$

如何使用此計算機

輸入複數： 使用直角坐標形式（例如 3+4i, -2-5i）或極坐標形式（例如 5∠45°, 3∠π/4）。計算機控制會自動檢測格式。
選擇運算： 從算術運算、轉換或函數（如模、輻角、冪和根）中選擇。
輸入附加信息： 對於二元運算，輸入第二個複數。對於冪/根運算，輸入指數。
點擊計算： 查看直角坐標和極坐標形式的結果，以及詳細的分步解答和複平面可視化。

複數的應用

電氣工程

交流電路分析使用複阻抗來表示電阻、電容和電感。

信號處理

傅立葉變換使用複指數來分析和過濾信號。

量子力學

波函數是複數值，概率由模的平方給出。

控制系統

複平面上的極點和零點決定了系統的穩定性和響應。

常見問題

什麼是複數？

複數是可以表示為 a + bi 形式的數，其中 a 和 b 是實數，i 是滿足 i² = -1 的虛數單位。實部是 'a'，虛部是 'b'。複數擴展了實數系統，在數學、物理和工程的許多領域中都是必不可少的。

如何在直角坐標形式和極坐標形式之間轉換？

從直角坐標 (a+bi) 轉換為極坐標 (r 角度 theta)：計算 r = sqrt(a² + b²) 作為模，theta = arctan(b/a) 作為輻角。從極坐標轉換為直角坐標：計算 a = r 乘以 cos(theta) 作為實部，b = r 乘以 sin(theta) 作為虛部。

什麼是棣莫弗定理？

棣莫弗定理指出，對於極坐標形式的複數 z = r(cos theta + i sin theta) 和任意整數 n：z^n = r^n(cos(n 乘以 theta) + i sin(n 乘以 theta))。這個定理通過使用極坐標形式而不是重複乘法，使得計算複數的冪和根變得更加簡單。

如何找到複數的 n 次方根？

要找到 z = r 角度 theta 的 n 個 n 次方根，請使用公式：root_k = r^(1/n) 角度 ((theta + 2 pi k)/n)，其中 k = 0, 1, 2, ..., n-1。這將在複平面上給出 n 個不同的根，它們均勻分佈在半徑為 r^(1/n) 的圓上。

複數有哪些應用？

複數用於電氣工程中的交流電路分析、信號處理中的傅立葉變換、量子力學中的波函數、控制系統中的穩定性分析、流體動力學和解多項式方程。它們為僅用實數難以解決的問題提供了優雅的解決方案。

其他資源

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由 miniwebtool 團隊製作。更新時間：2026年1月20日

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什麼是複數？

直角坐標形式

極坐標形式

虛數單位

支持的運算

算術運算

複數性質

形式轉換

冪和根

如何使用此計算機

複數的應用

電氣工程

信號處理

量子力學

控制系統

常見問題

什麼是複數？

如何在直角坐標形式和極坐標形式之間轉換？

什麼是棣莫弗定理？

如何找到複數的 n 次方根？

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