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立方和計算機
歡迎使用 立方和計算機，這是一個功能強大的數學工具，使用優美的閉式公式計算連續立方數之和。無論您是需要計算 1³ + 2³ + ... + n³，求從 n₁³ 到 n₂³ 的總和，還是計算自定義數字的立方，此計算機都能提供即時結果，並附帶分步說明和視覺表示。
優美的立方和恆等式
尼科馬霍斯定理
$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2$$前 n 個立方數之和等於前 n 個自然數之和的平方！
這個著名的恆等式被稱為 尼科馬霍斯定理 (Nicomachus's Theorem)，它揭示了立方和與線性求和之間的深層聯繫。這意味著立方數相加總是會產生一个完全平方數——具體來說，就是第 n 個三角形數的平方。
立方和公式
前 n 個立方數之和
從 n₁ 到 n₂ 的立方和
其中 S(n) = [n(n+1)/2]² 是前 n 個立方數之和。
如何使用此計算機
- 選擇計算模式：
- 範圍模式： 計算從 n₁³ 到 n₂³ 的總和
- 前 n 個立方數： 計算 1³ + 2³ + ... + n³
- 自定義數字： 輸入任何數字列表以計算它們的立方並求和
- 輸入您的數值： 根據您選擇的模式輸入所需的數字。
- 計算： 點擊按鈕使用最優公式計算總和。
- 查看結果： 查看總和、分步計算過程以及單個立方數的可視化圖表。
快速參考：前 n 個立方數之和
| n | 求和公式 | 立方和 | 驗證 |
|---|---|---|---|
| 1 | [1×2/2]² = 1² | 1 | 1³ = 1 |
| 2 | [2×3/2]² = 3² | 9 | 1 + 8 = 9 |
| 3 | [3×4/2]² = 6² | 36 | 1 + 8 + 27 = 36 |
| 4 | [4×5/2]² = 10² | 100 | 1 + 8 + 27 + 64 = 100 |
| 5 | [5×6/2]² = 15² | 225 | 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 |
| 10 | [10×11/2]² = 55² | 3,025 | 1³ 到 10³ 之和 |
| 100 | [100×101/2]² = 5050² | 25,502,500 | 1³ 到 100³ 之和 |
為什麼立方和 = 完全平方數？
這個恆等式可以用幾何方式視覺化：想像為每一項建立一個 L 形的曲尺形 (gnomon)。第一個立方體 (1³=1) 形成一個 1×1 的正方形。隨後的每個立方體都可以排列成一個 L 形，從而擴展該正方形。立方體 2³=8 形成一個 L 形，使正方形變為 3×3，依此類推。這種模式持續下去，總是產生一個邊長等於三角形數 T(n) = 1+2+...+n 的完全平方數。
立方和的應用
微積分與積分
在計算三次函數的黎曼和時，立方和公式至關重要。在近似 ∫₀ⁿ x³dx 時，您需要 ∑k³。當 n→∞ 時，這有助於導出 ∫x³dx = x⁴/4。
數論
立方和恆等式將三角形數、完全平方數以及不同冪次和之間的關係聯繫起來。它是加法數論中的一個基本結果。
電腦科學
在分析嵌套迴圈複雜度時，演算法分析有時會涉及到立方和。理解閉式公式可以實現 O(1) 的計算，而不是 O(n) 的迭代。
物理與工程
立方和出現在涉及三維縮放、體積計算以及某些幾何配置的轉動慣量計算的問題中。
立方和公式的證明
該公式可以通過多種方式證明：
- 數學歸納法： 證明基礎情況 (n=1)，然後證明如果對 n 成立，則對 n+1 也成立
- 裂項消去法 (Telescoping)： 使用恆等式 k⁴ - (k-1)⁴ = 4k³ - 6k² + 4k - 1
- 幾何證明： 使用曲尺形排列的視覺證明
- 代數證明： 從二項式定理和已知的求和公式中導出
相關公式
- n 之和： 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
- 平方和： 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
- 立方和： 1³ + 2³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²
- 四次方和： 1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴ = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
常見問題解答
立方和公式是什麼？
前 n 個立方數之和有一個優美的閉式公式：1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]² = (1 + 2 + 3 + ... + n)²。這個著名的恆等式表明立方和等於三角形數的平方。
如何計算從 n₁ 到 n₂ 的立方和？
要計算從 n₁³ 到 n₂³ 的立方和，請使用公式：S(n₂) - S(n₁-1)，其中 S(n) = [n(n+1)/2]²。這使您可以直接得出 n₁³ + (n₁+1)³ + ... + n₂³，而無需逐項相加。
為什麼立方和等於一個完全平方數？
前 n 個立方數之和等於 [n(n+1)/2]²，這總是一個完全平方數，因為它是第 n 個三角形數的平方。這個優美的數學恆等式可以通過歸纳法或使用堆疊立方體的幾何視覺化來證明。
前 10 個立方數之和是多少？
前 10 個立方數之和是 3,025。使用公式：[10×11/2]² = 55² = 3,025。驗證：1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3,025。
立方和與三角形數之間有什麼關係？
第 n 個三角形數 T(n) = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2。前 n 個立方數之和等於 T(n)²。例如，T(5) = 15，且 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15²。這種聯繫使得立方和與線性序列和二次序列都有關聯。
立方和公式在微積分中如何應用？
在微積分中，立方和公式用於計算三次函數的黎曼和。當使用左黎曼和或右黎曼和計算 ∫x³dx 時，需要計算從 1 到 n 的 ∑k³，它等於 [n(n+1)/2]²。這有助於導出反導數 x⁴/4。
額外資源
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026年1月19日
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