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指數積分計算機
歡迎使用指數積分計算機，這是一個用於計算指數積分 Ei(x) 的精確科學工具。無論您是在處理熱傳遞問題、電磁場計算，還是進行純數學研究，本計算機都能提供高精度結果、逐步推導過程和互動式視覺化。
什麼是指數積分 Ei(x)？
指數積分，記作 Ei(x)，是數學中經典的特殊函數之一。它自然地出現在物理和工程的許多領域，特別是在求解涉及指數項的微分方程時。
對於正數 x，由於在 t = 0 處存在奇點，該積分取其柯西主值。該函數在 x = 0 處具有對數奇點，並趨向於負無窮大。
Ei(x) 的主要性質
- 奇點： Ei(x) 在 x = 0 處具有對數奇點
- 漸近行為： 當 x → ∞ 時，Ei(x) ~ ex/x
- 對於負數 x： Ei(x) 始終為負，且當 x → -∞ 時趨近於 0
- 導數： d/dx [Ei(x)] = ex/x
相關指數積分
指數積分 Ei(x) 是相關特殊函數家族的一部分：
函數 E₁(x) 定義為 $E_1(x) = \int_x^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$，與 Ei(x) 的關係式為：當 x > 0 時，E₁(x) = -Ei(-x)。對數積分 li(x) 的關係式為 li(x) = Ei(ln x)。
如何使用此計算機
- 輸入您的數值： 輸入您想要計算 Ei(x) 的 x 值。您可以使用預設按鈕來輸入常見數學常數，如 e、π 或 √2。
- 選擇精度： 選擇結果的小數位數（6-50 位）。高精度對於科學應用非常有用。
- 計算： 點擊「計算」按鈕，使用任意精度算術來計算 Ei(x)。
- 分析結果： 查看計算出的數值，檢查逐步推導過程，並探索顯示 Ei(x) 行為的互動式圖表。
實際應用
級數展開
冪級數（適用於較小的 |x|）
其中 γ ≈ 0.5772156649 是歐拉-馬斯刻若尼常數。
漸近展開（適用於較大的 x）
此級數雖然發散，但在較大 x 處進行適當截斷後可提供極佳的數值近似。
常見問題
什麼是指數積分 Ei(x)？
指數積分 Ei(x) 是一個特殊函數，定義為從負無窮到 x 的 (et / t) dt 的積分。它經常出現在物理、工程和應用數學中，特別是涉及熱傳導、輻射傳遞和量子力學的問題。對於正數 x，Ei(x) 代表此廣義積分的主值。
Ei(x) 和 E₁(x) 有什麼區別？
Ei(x) 和 E₁(x) 是相關但不同的指數積分。Ei(x) 定義為從 -∞ 到 x 的 et/t dt 的主值積分，而 E₁(x) 定義為從 x 到 ∞ 的 e-t/t dt 的積分。對於 x > 0，它們的關係為 E₁(x) = -Ei(-x)。Ei(x) 常見於物理學，而 E₁(x) 更多地出現在數學分析中。
指數積分在實際應用中有哪些用途？
指數積分有許多實際應用：在石油工程中用於試井和壓力瞬態分析；在熱傳遞中用於計算溫度分佈；在電磁理論中用於天線輻射圖形；在核物理中用於輻射傳輸；以及在天體物理中用於恆星大氣模型。它也出現在概率論和排隊論中。
為什麼 Ei(x) 在 x = 0 處有奇點？
Ei(x) 在 x = 0 處具有對數奇點，因為被積函數 et/t 在 t = 0 處具有不可積奇點。當 x 從任一方向趨近於 0 時，Ei(x) 趨近於負無窮大。這就是為什麼該函數通常對正值和負值分別定義，並在奇點處取主值。
如何計算較大 x 值的 Ei(x)？
對於較大的正數 x，可以使用漸近展開式來近似 Ei(x)：Ei(x) ≈ (ex / x) × (1 + 1!/x + 2!/x² + 3!/x³ + ...)。此級數雖然發散，但在適當截斷時可提供極佳的數值近似。對於精確計算，會使用連分數或級數加速技術等專門算法。
可以計算負數的 Ei(x) 嗎？
是的，可以計算負實數的 Ei(x)。對於 x < 0，定義 Ei(x) 的積分正常收斂，不需要取主值。負數 x 的 Ei(x) 函數值始終為負，並在 x 趨向負無窮大時趨於 0。我們的計算機可以高精度處理正數和負數輸入值。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026年1月25日
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