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指數積分計算機
歡迎使用指數積分計算機,這是一個用於計算指數積分 Ei(x) 的精確科學工具。無論您是在處理熱傳遞問題、電磁場計算,還是進行純數學研究,本計算機都能提供高精度結果、逐步推導過程和互動式視覺化。
什麼是指數積分 Ei(x)?
指數積分,記作 Ei(x),是數學中經典的特殊函數之一。它自然地出現在物理和工程的許多領域,特別是在求解涉及指數項的微分方程時。
對於正數 x,由於在 t = 0 處存在奇點,該積分取其柯西主值。該函數在 x = 0 處具有對數奇點,並趨向於負無窮大。
Ei(x) 的主要性質
- 奇點: Ei(x) 在 x = 0 處具有對數奇點
- 漸近行為: 當 x → ∞ 時,Ei(x) ~ ex/x
- 對於負數 x: Ei(x) 始終為負,且當 x → -∞ 時趨近於 0
- 導數: d/dx [Ei(x)] = ex/x
相關指數積分
指數積分 Ei(x) 是相關特殊函數家族的一部分:
函數 E₁(x) 定義為 $E_1(x) = \int_x^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$,與 Ei(x) 的關係式為:當 x > 0 時,E₁(x) = -Ei(-x)。對數積分 li(x) 的關係式為 li(x) = Ei(ln x)。
如何使用此計算機
- 輸入您的數值: 輸入您想要計算 Ei(x) 的 x 值。您可以使用預設按鈕來輸入常見數學常數,如 e、π 或 √2。
- 選擇精度: 選擇結果的小數位數(6-50 位)。高精度對於科學應用非常有用。
- 計算: 點擊「計算」按鈕,使用任意精度算術來計算 Ei(x)。
- 分析結果: 查看計算出的數值,檢查逐步推導過程,並探索顯示 Ei(x) 行為的互動式圖表。
實際應用
級數展開
冪級數(適用於較小的 |x|)
其中 γ ≈ 0.5772156649 是歐拉-馬斯刻若尼常數。
漸近展開(適用於較大的 x)
此級數雖然發散,但在較大 x 處進行適當截斷後可提供極佳的數值近似。
常見問題
什麼是指數積分 Ei(x)?
指數積分 Ei(x) 是一個特殊函數,定義為從負無窮到 x 的 (et / t) dt 的積分。它經常出現在物理、工程和應用數學中,特別是涉及熱傳導、輻射傳遞和量子力學的問題。對於正數 x,Ei(x) 代表此廣義積分的主值。
Ei(x) 和 E₁(x) 有什麼區別?
Ei(x) 和 E₁(x) 是相關但不同的指數積分。Ei(x) 定義為從 -∞ 到 x 的 et/t dt 的主值積分,而 E₁(x) 定義為從 x 到 ∞ 的 e-t/t dt 的積分。對於 x > 0,它們的關係為 E₁(x) = -Ei(-x)。Ei(x) 常見於物理學,而 E₁(x) 更多地出現在數學分析中。
指數積分在實際應用中有哪些用途?
指數積分有許多實際應用:在石油工程中用於試井和壓力瞬態分析;在熱傳遞中用於計算溫度分佈;在電磁理論中用於天線輻射圖形;在核物理中用於輻射傳輸;以及在天體物理中用於恆星大氣模型。它也出現在概率論和排隊論中。
為什麼 Ei(x) 在 x = 0 處有奇點?
Ei(x) 在 x = 0 處具有對數奇點,因為被積函數 et/t 在 t = 0 處具有不可積奇點。當 x 從任一方向趨近於 0 時,Ei(x) 趨近於負無窮大。這就是為什麼該函數通常對正值和負值分別定義,並在奇點處取主值。
如何計算較大 x 值的 Ei(x)?
對於較大的正數 x,可以使用漸近展開式來近似 Ei(x):Ei(x) ≈ (ex / x) × (1 + 1!/x + 2!/x² + 3!/x³ + ...)。此級數雖然發散,但在適當截斷時可提供極佳的數值近似。對於精確計算,會使用連分數或級數加速技術等專門算法。
可以計算負數的 Ei(x) 嗎?
是的,可以計算負實數的 Ei(x)。對於 x < 0,定義 Ei(x) 的積分正常收斂,不需要取主值。負數 x 的 Ei(x) 函數值始終為負,並在 x 趨向負無窮大時趨於 0。我們的計算機可以高精度處理正數和負數輸入值。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為:
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期:2026年1月25日
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