如何求出一個函數的反函數？

求反函數的步驟：1) 將 f(x) 替換為 y，2) 在方程式中交換 x 和 y，3) 解出新方程式中的 y，4) 將 y 替換為 f^(-1)(x)。這個過程有效地反轉了輸入與輸出的關係。

所有函數都有反函數嗎？

不，只有一對一（單射）函數才有反函數。如果每一個輸出值恰好對應一個輸入值，則該函數為一對一函數。未能通過水平線測試的函數沒有反函數，除非限制其定義域。

什麼是水平線測試？

水平線測試用於判斷函數是否有反函數。如果任何水平線與函數圖形相交超過一次，則該函數不是一對一的，且在其整個定義域上沒有反函數。

反函數計算機

Q: 什麼是反函數？

反函數 f^(-1)(x) 反轉了原始函數 f(x) 的運算。如果 f(a) = b，則 f^(-1)(b) = a。換句話說，反函數會「復原」原始函數所做的運算。

計算給定函數 f(x) 的反函數 f^(-1)(x)，並提供顯示如何以代數方式尋找反函數的詳細逐步說明。

反函數計算機

試試這些範例：

線性：2x + 3 有理：(x-1)/(x+2) 三次：x^3 - 1 根式：sqrt(x+4) 指數：e^x 對數：ln(x)

如何輸入函數

基本運算 + - * /

指數 x^2 或 x**2

平方根 sqrt(x)

對數 log(x) (自然對數)

指數函數 exp(x) 或 e^x

分數 (x-1)/(x+2)

f(x) =

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反函數計算機

歡迎使用我們的反函數計算機，這是一個免費的線上工具，可提供詳細的逐步說明來幫助您求出函數的反函數。無論您是學習反函數的學生、正在準備微積分，還是製作範例的老師，本計算機都能提供清晰的代數求解過程說明。

什麼是反函數？

反函數通常表示為 $f^{-1}(x)$，它會反轉原始函數 $f(x)$ 的運算。如果 $f(a) = b$，那麼 $f^{-1}(b) = a$。換句話說，反函數會「復原」原始函數所做的事情。

反函數的關鍵性質包括：

合成性質： $f(f^{-1}(x)) = x$ 以及 $f^{-1}(f(x)) = x$
圖形關係： $f^{-1}(x)$ 的圖形是 $f(x)$ 關於直線 $y = x$ 的對稱圖形
定義域與值域互換： $f$ 的定義域變成 $f^{-1}$ 的值域，反之亦然

如何求函數的反函數

請依照下列步驟以代數方法求出反函數：

步驟 1：將 f(x) 替換為 y

首先將函數寫成 $y = f(x)$ 的形式。這樣可以讓代數運算更容易。

步驟 2：交換 x 和 y

在方程式中互換變數 x 和 y。這個步驟反轉了輸入與輸出的關係。

步驟 3：解出 y

使用代數技巧將 y 隔離在方程式的一邊。這通常是最具挑戰性的步驟。

步驟 4：以函數符號表示

將 y 替換為 $f^{-1}(x)$ 以正確表示反函數。

步驟 5：驗證（可選）

檢查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 來確認您的答案。

常見的反函數

原始函數 $f(x)$	反函數 $f^{-1}(x)$
$f(x) = x + a$	$f^{-1}(x) = x - a$
$f(x) = ax$	$f^{-1}(x) = \frac{x}{a}$
$f(x) = ax + b$	$f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$
$f(x) = x^2$ (對於 $x \geq 0$)	$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = x^3$	$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$
$f(x) = e^x$	$f^{-1}(x) = \ln(x)$
$f(x) = \ln(x)$	$f^{-1}(x) = e^x$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$

函數何時有反函數？

並非所有函數都有反函數。一個函數若要有反函數，必須是一對一（one-to-one，也稱為單射）的。這表示每一個輸出值恰好對應一個輸入值。

水平線測試

如果沒有任何水平線與函數圖形相交超過一次，則該函數通過水平線測試。如果函數通過此測試，它就有反函數。

線性函數（斜率不為零）永遠是一對一的
二次函數在所有實數上不是一對一的（它們無法通過水平線測試）
嚴格單調函數（總是遞增或總是遞減）是一對一的

限制定義域

當一個函數不是一對一時，我們可以限制它的定義域使其成為一對一函數。例如：

$f(x) = x^2$ 不是一對一的，但 $f(x) = x^2$ 在 $x \geq 0$ 時是一對一的，其反函數為 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
$f(x) = \sin(x)$ 不是一對一的，但 $f(x) = \sin(x)$ 在 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 時是一對一的，其反函數為 $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$

範例

範例 1：線性函數

求 $f(x) = 3x - 5$ 的反函數

解答：

寫成 $y = 3x - 5$
交換：$x = 3y - 5$
解出 y：$x + 5 = 3y$，所以 $y = \frac{x + 5}{3}$
因此，$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

範例 2：有理函數

求 $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ 的反函數

解答：

寫成 $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
交換：$x = \frac{y - 1}{y + 2}$
求解：$x(y + 2) = y - 1$，所以 $xy + 2x = y - 1$
移項整理：$xy - y = -1 - 2x$，所以 $y(x - 1) = -2x - 1$
因此，$f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$

使用本計算機的技巧

使用 x 作為變數輸入函數
使用 * 表示乘法（例如：2*x 而不是 2x）
使用 ^ 或 ** 表示指數（例如：x^2 或 x**2）
使用 sqrt(x) 表示平方根
使用 log(x) 表示自然對數
使用 exp(x) 或 e^x 表示指數函數

常見問題

f^(-1)(x) 中的 -1 是什麼意思？

$f^{-1}(x)$ 中的 -1 不是指數。它是一個表示反函數的符號。請勿將其與 $\frac{1}{f(x)}$ 混淆，後者是 f(x) 的倒數。

我可以求任何函數的反函數嗎？

並非所有函數都有反函數。只有一對一函數才有反函數。如果一個函數無法通過水平線測試，它在整個定義域上就沒有反函數，但您也許可以透過限制定義域來建立可逆函數。

如何驗證我的反函數是否正確？

要進行驗證，請檢查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 和 $f^{-1}(f(x)) = x$ 是否成立。如果兩個合成結果都等於 x，您的反函數就是正確的。

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什麼是反函數？

如何求函數的反函數

步驟 1：將 f(x) 替換為 y

步驟 2：交換 x 和 y

步驟 3：解出 y

步驟 4：以函數符號表示

步驟 5：驗證（可選）

常見的反函數

函數何時有反函數？

水平線測試

限制定義域

範例

範例 1：線性函數

範例 2：有理函數

使用本計算機的技巧

常見問題

f^(-1)(x) 中的 -1 是什麼意思？

我可以求任何函數的反函數嗎？

如何驗證我的反函數是否正確？

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