函數複合計算機

函數複合計算機

歡迎使用我們的函數複合計算機，這是一個免費的線上工具，可協助您計算兩個函數的複合，並提供詳細的逐步說明。無論您是正在學習函數複合的學生、準備微積分考試，還是正在製作範例的老師，本計算機都能提供清晰的代數過程解釋。

什麼是函數複合？

函數複合是結合兩個函數以產生新函數的過程。當我們複合函數 f 和 g 時，寫作 $(f \circ g)(x)$，讀作「f 與 g 的複合」或「f of g of x」。

符號 $(f \circ g)(x)$ 意指 $f(g(x))$，其中：

• 首先，我們將 g 應用於輸入 x，得到 $g(x)$
• 然後，我們將 f 應用於該結果，得到 $f(g(x))$
• 內層函數先應用，然後是外層函數

如何計算函數複合

要找出 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$，請遵循以下步驟：

步驟 1：辨識內層和外層函數

在 $(f \circ g)(x)$ 中，g 是內層函數（先應用），f 是外層函數（後應用）。

步驟 2：將 g(x) 代入 f(x)

將 f(x) 中出現的每個 x 替換為 g(x) 的完整表達式。

步驟 3：化簡

展開、合併同類項、因式分解或以其他方式簡化結果表達式。

步驟 4：寫出最終答案

將結果表示為 $(f \circ g)(x) = $ 化簡後的表達式。

函數複合的重要屬性

函數複合不具備交換律

一般而言，$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$。順序很重要！這是最需要記住的屬性之一。

函數複合具備結合律

如果您有三個函數 f、g 和 h，則 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$。

恆等函數

對於任何函數 f，恆等函數 $I(x) = x$ 滿足 $(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$。

反函數

如果 f 和 g 互為反函數，則 $(f \circ g)(x) = x$ 且 $(g \circ f)(x) = x$。

函數複合常見範例

$f(x)$	$g(x)$	$(f \circ g)(x) = f(g(x))$
$f(x) = 2x + 1$	$g(x) = x^2$	$2x^2 + 1$
$f(x) = x^2$	$g(x) = 2x + 1$	$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$f(x) = \sqrt{x}$	$g(x) = x + 4$	$\sqrt{x + 4}$
$f(x) = e^x$	$g(x) = \ln(x)$	$e^{\ln(x)} = x$
$f(x) = \ln(x)$	$g(x) = e^x$	$\ln(e^x) = x$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$g(x) = x + 2$	$\frac{1}{x + 2}$

複合函數的定義域

$(f \circ g)(x)$ 的定義域由所有滿足以下條件的 x 組成：x 在 g 的定義域內，且 $g(x)$ 在 f 的定義域內。

例如，若 $f(x) = \sqrt{x}$ 且 $g(x) = x - 4$：

• $g(x) = x - 4$ 定義於所有實數
• $f(x) = \sqrt{x}$ 要求 $x \geq 0$
• 對於 $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$，我們需要 $x - 4 \geq 0$，因此 $x \geq 4$

函數複合的應用

微積分中

函數複合對於微分中的連鎖律至關重要：如果 $h(x) = f(g(x))$，則 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。

現實世界問題中

函數複合可模擬連續過程。例如：

• 溫度轉換： 將華氏轉為克氏，先將 F 轉為 C，再將 C 轉為 K
• 商業： 對價格應用折扣，然後加上營業稅
• 物理： 速度是位置的導數，加速度是速度的導數

範例

範例 1：多項式函數

令 $f(x) = 2x + 3$ 且 $g(x) = x^2 - 1$。求 $(f \circ g)(x)$。

解答：

1. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
2. 將 $g(x) = x^2 - 1$ 代入 $f(x) = 2x + 3$：
3. $f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3$
4. $= 2x^2 - 2 + 3$
5. $= 2x^2 + 1$

範例 2：有理函數與多項式函數

令 $f(x) = \frac{1}{x}$ 且 $g(x) = x + 2$。求 $(f \circ g)(x)$ 和 $(g \circ f)(x)$。

解答：

1. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = \frac{1}{x + 2}$
2. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 2 = \frac{1 + 2x}{x}$
3. 注意：$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$

範例 3：驗證反函數

令 $f(x) = 2x + 3$ 且 $g(x) = \frac{x - 3}{2}$。驗證 f 和 g 是否互為反函數。

解答：

1. 檢查 $(f \circ g)(x)$：$f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ ✓
2. 檢查 $(g \circ f)(x)$：$g(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$ ✓
3. 由於兩個複合結果皆為 x，因此 f 和 g 互為反函數。

本計算機使用技巧

• 使用 x 作為變數輸入函數
• 使用 * 表示乘法（例如，2*x 而不是 2x）
• 使用 ^ 或 ** 表示指數（例如，x^2 或 x**2）
• 使用 sqrt(x) 表示平方根
• 使用 log(x) 表示自然對數
• 使用 exp(x) 或 e^x 表示指數函數
• 使用括號來釐清運算順序

常見問題

(f ∘ g)(x) 和 f(x) × g(x) 有什麼區別？

$(f \circ g)(x)$ 是函數複合，意指 $f(g(x))$。相反， $f(x) \times g(x)$ 是函數乘法，即將兩個函數的輸出相乘。這是完全不同的運算。

如何讀符號 (f ∘ g)(x)？

讀作「f 與 g 的複合」或簡單讀作「f of g of x」。小圓圈 ∘ 代表複合，不是乘法。

函數複合的順序重要嗎？

是的！函數複合不具備交換律。$(f \circ g)(x)$ 通常會給出與 $(g \circ f)(x)$ 不同的結果。請務必注意哪個函數先應用。

如何找出複合函數的定義域？

$(f \circ g)(x)$ 的定義域包含所有滿足以下條件的 x 值：(1) x 在 g 的定義域內，且 (2) $g(x)$ 在 f 的定義域內。您必須檢查這兩個條件。

額外資源

了解更多關於函數複合的資訊：

• 函數複合 - 維基百科
• 函數複合 - Khan Academy
• 函數複合 - Wolfram MathWorld

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