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二項式係數計算機

計算二項式係數 C(n, k)，提供逐步解題過程、帕斯卡三角形可視化以及實際概率應用。

二項式係數計算機
快速示例
公式預覽
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

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二項式係數計算機

歡迎使用二項式係數計算機，這是一個免費的在線工具，用於計算 C(n, k) - 即從 n 個項目中選擇 k 個項目的方法數。本計算機提供逐步解題過程、帕斯卡三角形可視化以及實際應用案例，幫助您深入理解二項式係數。

什麼是二項式係數？

二項式係數，符號表示為 C(n, k)、$inom{n}{k}$ 或稱為「n 選 k」，代表從一個包含 n 個元素的集合中，不考慮順序地選出 k 個元素的方法總數。它是組合數學、概率論和代數學中的一個基本概念。

$$C(n, k) = inom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

例如，C(5, 2) = 10，這意味著從 5 個不同的項目中選擇 2 個項目有 10 種不同的方法。

如何計算 C(n, k)？

計算二項式係數有幾種主要方法：

方法 1：階乘公式

直接使用定義公式：

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}$$

示例：$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

方法 2：乘法公式

這是一種更高效的方法，可以避免計算巨大的階乘：

$$C(n, k) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}$$

示例：$C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

方法 3：帕斯卡三角形

直接從帕斯卡三角形中讀取數值。第 n 行（從 0 開始）包含所有的值 C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n)。

與帕斯卡三角形的關係

帕斯卡三角形是一個三角形陣列，其中每個數字都是其上方兩個數字的和。這個三角形完美地展示了所有的二項式係數。

第 n 行第 k 個位置的項等於 C(n, k)。例如，在第 4 行中，數值 [1, 4, 6, 4, 1] 分別對應 C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4)。

二項式係數的性質

關鍵性質
  • 對稱性： C(n, k) = C(n, n-k)。選擇 k 個項目相當於留下 n-k 個項目。
  • 帕斯卡法則： C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。每個數值都是上方兩個數值的和。
  • 行總和： C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$。第 n 行所有數值之和等於 $2^n$。
  • 邊界值： C(n, 0) = C(n, n) = 1。選擇不選或全選的方法都只有一種。
  • 曲棍球棒恆等式： $\sum_{i=r}^{n} C(i, r) = C(n+1, r+1)$。沿對角線之和等於其右下方的項。

二項式係數的實際應用

彩票與機會遊戲

彩票賠率是使用二項式係數計算的。例如，在一個從 49 個號碼中選 6 個號碼的彩票中，可能的組合總數為 C(49, 6) = 13,983,816。這意味著中獎概率約為 1400 萬分之一。

委員會組成

在組成委員會時，二項式係數可以告訴您有多少種不同的組合。如果您需要從 20 名候選人中選出一個 5 人的委員會，則有 C(20, 5) = 15,504 種可能的組合方式。

卡牌遊戲

在撲克牌中，從 52 張牌中選出 5 張牌的可能組合數為 C(52, 5) = 2,598,960。特定牌型（如同花或葫蘆）的概率計算也會用到二項式係數。

統計學與概率

二項式分佈描述了 n 次獨立試驗中獲得 k 次成功的概率，其公式中使用了二項式係數：$P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

計算機科學

二項式係數出現在算法分析、數據結構（二項式堆）、編碼理論和組合優化問題中。

如何使用本計算機

  1. 輸入 n 的值： 在第一個字段中輸入項目總數 (n)。這代表您從中選擇的集合的大小。
  2. 輸入 k 的值： 在第二個字段中輸入要選擇的項目數量 (k)。此值必須在 0 到 n 之間。
  3. 點擊計算： 按下「計算」按鈕以計算 C(n, k)。該工具將顯示結果以及詳細的逐步計算過程。
  4. 查看結果： 查看顯示公式應用的逐步解題、突出顯示您所選數值的帕斯卡三角形、實際案例以及相關的二項式係數值。

常見問題 (FAQ)

什麼是二項式係數？

二項式係數 C(n, k)，也寫作「n 選 k」或 $inom{n}{k}$，表示從 n 個項目中不計順序地選擇 k 個項目的方法數。它的計算公式為 n! / (k! × (n-k)!)，並廣泛應用於概率論和組合數學中。

如何計算 C(n, k)？

計算 C(n, k) 最直接的方法是使用公式：C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)。例如，C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 10。對於較大的數字，使用乘法公式會更簡單且能避免極大數值的計算問題。

二項式係數與帕斯卡三角形有什麼關係？

帕斯卡三角形中的每個數字都是二項式係數。第 n 行（從 0 開始）的第 k 個數正是 C(n, k)。這使得帕斯卡三角形成為直觀查看這些組合數的強大工具。

二項式係數有哪些實際應用？

它們用於計算抽獎或彩票的贏面、分組方式、概率統計中的二項式分佈、遺傳學中的等位基因組合計算，以及計算機科學中的路徑計數等問題。

對稱性質有什麼用？

對稱性質 C(n, k) = C(n, n-k) 可以簡化計算。例如計算 C(100, 98) 與計算 C(100, 2) 是一樣的，後者計算起來要快得多，因為它只需要計算 (100 × 99) / (2 × 1)。

參考資料

引用此內容、頁面或工具為：

"二項式係數計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/二項式係數計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026年1月13日

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