双曲函数计算器

双曲函数计算器

欢迎使用双曲函数计算器，这是一个功能强大的在线工具，用于以极高的精度计算双曲函数。计算 sinh, cosh, tanh 及其反函数 (asinh, acosh, atanh)，精度高达 1000 位小数，并配有分步解决方案和交互式可视化图表。

什么是双曲函数？

双曲函数是数学函数，是普通三角函数的类似物，但使用双曲线而不是圆来定义。三角函数与单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上的点有关，而双曲函数与单位双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 上的点有关。

三个主要的双曲函数是：

• 双曲正弦 (sinh): 定义为 $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• 双曲余弦 (cosh): 定义为 $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• 双曲正切 (tanh): 定义为 $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

基本双曲恒等式

就像三角函数满足 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ 一样，双曲函数也满足基本恒等式：

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

这个恒等式可以对任何实数 x 进行验证，它是 cosh 和 sinh 指数定义的直接结果。

双曲函数的定义域和值域

如何使用此计算器

1. 输入输入值：在输入框中输入一个数字。对于 sinh, cosh, tanh 和 asinh，这可以是任何实数。对于 acosh，输入一个大于或等于 1 的值。对于 atanh，输入一个介于 -1 和 1 之间的值。
2. 选择函数：使用函数卡片或下拉菜单从 sinh, cosh, tanh（直接函数）或 asinh, acosh, atanh（反函数）中选择。
3. 设置精度：输入所需的小数位数 (1-1000) 或从预设值（如 10, 50, 100 或 500 位小数）中选择。
4. 计算并查看结果：点击“计算”以查看所选精度的结果，以及分步计算、交互式图表和相关函数值。

双曲函数的应用

常见问题解答

什么是双曲函数？

双曲函数是三角函数的模拟，但基于单位双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 而不是单位圆。主要的双曲函数是 sinh（双曲正弦）、cosh（双曲余弦）和 tanh（双曲正切），使用指数函数定义。

sinh(x) 的公式是什么？

双曲正弦定义为 $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$。它是一个奇函数，其定义域和值域覆盖所有实数。$\sinh(0) = 0$。

什么是基本双曲恒等式？

基本双曲恒等式是 $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$，类似于三角恒等式 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$。这个恒等式可以对任何实数 x 进行验证。

双曲函数在哪里使用？

双曲函数出现在许多领域，包括：物理（狭义相对论、波动方程）、工程（悬链线、信号处理）、建筑（悬索桥、拱门）和机器学习（神经网络中的 tanh 激活函数）。

acosh(x) 的定义域是什么？

反双曲余弦 acosh(x) 仅对 $x \geq 1$ 有定义，因为 cosh(x) 总是返回大于或等于 1 的值。acosh 的值域是 $[0, +\infty)$。

参考资料

• 双曲函数 - 维基百科
• 双曲函数 - Wolfram MathWorld
• 悬链线 - 维基百科
• 神经网络中的激活函数 - 维基百科

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