正切计算器

欢迎使用正切计算器 — 这是一个高精度工具，可以计算任何角度在 1 到 1000 位小数之间的 tan(θ) 值。您可以输入角度或弧度，查看 MathJax 渲染的逐步解题过程，探索交互式单位圆图表，并在垂直渐近线（90°, 270°, …）处获得清晰的提示。

什么是正切函数？

正切函数 (tan) 是六个基本三角函数之一。它被定义为正弦与余弦的比值：

从几何上看，在单位圆上，tan(θ) 表示角度 θ 的终边与垂直切线 x = 1 相交处的 y 坐标。它也等于从原点出发、夹角为 θ 的半径线的斜率。

正切函数的主要性质

• 周期： π 弧度 (180°) — tan(θ + 180°) = tan(θ)
• 定义域： 除 θ = 90° + k·180°（此时 cos θ = 0）以外的所有实数
• 值域： 所有实数 (−∞, +∞)
• 奇函数： tan(−θ) = −tan(θ)
• 渐近线： 在 90° 的奇数倍 (π/2 rad) 处具有垂直渐近线

特殊角的正切值

按象限划分的正切正负号

正切函数在正弦和余弦符号相同时为正，在符号不同时为负：

记忆口诀：“全正、正弦、正切、余弦” (ASTC) — 第一象限全部三角函数为正；第二象限仅正弦 (Sin) 为正；第三象限仅正切 (Tan) 为正；第四象限仅余弦 (Cos) 为正。

关键正切恒等式

如何使用此计算器

1. 输入角度： 在角度字段中输入任何数值。支持国际数字格式（例如 1.234 或 1,234）。
2. 选择角度单位： 选择“角度”或“弧度”。
3. 设置精度： 输入小数位数（1–1000）。标准精度为 10；科学工作可能需要 50–100+。
4. 点击计算： 查看正切值、交互式单位圆图表、逐步解题过程以及完整的三角函数值。

为什么需要高精度正切？

• 任意精度： 远超标准计算器典型的 15–16 位限制，最高支持 1000 位小数。
• 研究级准确度： 由 mpmath 提供支持，实现可靠的任意精度算术。
• 渐近线感知： 检测 90° + k·180° (π/2 + k·π) 处的无定义点并清晰报警。
• 教育性输出： MathJax 渲染的公式、单位圆可视化以及特殊角检测。

常见问题解答

什么是三角学中的正切函数？

正切函数 (tan) 定义为正弦与余弦的比值：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)。它表示从原点出发、夹角为 θ 的射线的斜率。在几何上，它是该射线与单位圆上垂直切线 x = 1 相交处的 y 值。

正切函数在何处无定义？

正切在 90° 的奇数倍（或 π/2 弧度）处无定义：如 90°、270°、−90° 等。在这些角度，cos(θ) = 0，使得比值 sin(θ)/cos(θ) 无意义。正切图像在这些点上具有垂直渐近线。

特殊角的正切值是多少？

特殊角的精确正切值为：tan(0°) = 0, tan(30°) = √3/3 ≈ 0.577, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1.732, tan(90°) 为无定义, tan(120°) = −√3, tan(135°) = −1, tan(150°) = −√3/3, 以及 tan(180°) = 0。

为什么 tan(45°) 等于 1？

在 45° 时，正弦和余弦的值相同（均为 √2/2）。由于 tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)，我们得到 tan(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1。从几何上看，45° 角的半径线斜率恰好为 1。

正切函数的周期是多少？

正切函数的周期为 π 弧度（180°），这意味着 tan(θ + 180°) = tan(θ)。这比正弦和余弦（周期为 2π/360°）短，因为正弦和余弦在 180° 后都会改变符号，而它们的比值保持不变。

正切在哪些象限是正值或负值？

正切在第一象限（0°–90°）和第三象限（180°–270°）为正，此时正弦和余弦符号相同。正切在第二象限（90°–180°）和第四象限（270°–360°）为负，此时正弦和余弦符号相反。

更多资源

• 正切 – 维基百科
• 三角函数图像 – 可汗学院
• 正切 – Wolfram MathWorld