形状参数 beta 代表什么意思？

形状参数 beta 控制故障率的行为。当 beta 小于 1 时，故障率随时间递减（婴儿期死亡率）。当 beta 等于 1 时，故障率是恒定的，威布尔分布简化为指数分布。当 beta 大于 1 时，故障率随时间递增（耗损故障）。beta 约为 3.6 时近似于正态分布。

什么是特征寿命 eta？

尺度参数 eta 也称为特征寿命，是指总体中 63.2% 的个体发生故障的时间。这是因为无论 beta 的值是多少，F(eta) = 1 - e^(-1) = 0.632。它作为分布的自然尺度，并在可靠性分析中用作参考点。

威布尔分布计算器

计算威布尔分布概率、可靠度 R(t)、危险率 h(t) 以及 B-life 百分位数。输入形状参数 β 和尺度参数 η 以获取 PDF、CDF、均值、方差、MTTF 以及带有显示浴盆曲线行为的交互式图表的逐步解决方案。

威布尔分布计算器

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威布尔分布计算器

威布尔分布计算器用于计算威布尔分布 $X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)$ 的概率、可靠度、危险率和关键统计数据。输入形状参数 $\beta$ 和尺度参数 $\eta$，即可获得故障概率 $F(x)$、可靠度 $R(x)$、危险函数 $h(x)$、B-寿命百分位数，以及包含交互式 PDF、CDF 和危险函数图表的分步解决方案。此工具对于可靠性工程、生存分析和寿命数据建模至关重要。

什么是威布尔分布？

威布尔分布是以瑞典数学家 Waloddi Weibull 命名的连续概率分布。它是可靠性工程和寿命数据分析中最广泛使用的分布，因为其形状参数 $\beta$ 允许它模拟三种不同的故障行为：递减故障率（婴儿期死亡率）、恒定故障率（随机故障）和递增故障率（耗损）。其概率密度函数为：

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

形状参数 β 与浴盆曲线

形状参数 $\beta$ (beta) 决定了故障率的行为，并与可靠性工程中使用的浴盆曲线直接相关：

📉

β < 1：婴儿期死亡率

故障率递减。早期的缺陷随时间被剔除。常见于电子产品的老化测试。

➡

β = 1：随机故障

恒定故障率。简化为指数分布。适用无记忆特性。

📈

β > 1：耗损

故障率递增。老化和退化占据主导地位。常见于机械部件。

🔔

β ≈ 3.6：类正态

近似于对称的正态分布。常用于疲劳寿命建模。

关键公式

属性	公式	描述
PDF	$\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}$	x 处的概率密度
CDF	$F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}$	到时间 x 为止的故障概率
可靠度	$R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}$	在时间 x 处的生存概率
风险率	$h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}$	瞬时故障率
均值	$\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)$	平均故障时间 (MTTF)
方差	$\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]$	寿命分布的离散程度
中位数	$\eta(\ln 2)^{1/\beta}$	第 50 百分位寿命
众数	$\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}$ 当 β > 1	最可能的寿命
B-寿命	$\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}$	p 比例单元发生故障的时间
特征寿命	$\eta$ → F(η) = 63.2%	尺度参数的物理含义

实际应用领域

行业	应用	典型 β 值
航空航天	涡轮叶片疲劳寿命	2 – 4
汽车	轴承耗损分析	1.5 – 3
电子产品	半导体婴儿期死亡率	0.3 – 0.8
电力系统	风速分布	1.5 – 3
医疗器械	植入物生存时间	1.5 – 5
制造业	保修规划与 B10 寿命	1.5 – 4
土木工程	混凝土和材料强度	5 – 20

威布尔分布与其他分布的比较

特征	威布尔分布	指数分布	对数正态分布
参数	β (形状), η (尺度)	λ (率)	μ, σ
故障率	灵活 (↓, →, ↑)	仅恒定	先升后降
特例	β=1 → 指数分布	威布尔 β=1	—
最适用于	机械耗损	随机事件	维修时间
B-寿命分析	原生支持	有限	可行

如何使用威布尔分布计算器

输入形状参数 β： 这控制了故障率的行为。β < 1 用于婴儿期死亡率，β = 1 用于恒定故障率（指数分布），β > 1 用于耗损故障。常见值范围从 0.5 到 5。实时分析徽章会显示您的 β 值代表的含义。
输入尺度参数 η： 这是特征寿命——即 63.2% 的单元发生故障的时间。它为分布设定了时间尺度。例如，如果轴承的 η = 5000 小时，那么 63.2% 的轴承会在 5000 小时前失效。
选择概率类型： 选择 P(X ≤ x) 计算故障概率，R(x) = P(X > x) 计算可靠度（生存概率），或选择 P(a ≤ X ≤ b) 计算区间概率。
输入时间值： 输入时间、循环或使用量数值。对于区间模式，请输入下限和上限。
查看结果： 查看概率值、动态概率条、交互式 PDF/CDF/危险函数图表、可靠性里程碑（MTTF、B1、B10 寿命）、分布属性，以及包含 MathJax 公式完整的分步解决方案。

FAQ

什么是威布尔分布？

威布尔分布是一种连续概率分布，广泛应用于可靠性工程和故障分析。它由两个参数定义：形状参数 β 和尺度参数 η。它的灵活性使其能够根据 β 的值模拟递减、恒定或递增的故障率，使其成为航空航天、汽车、电子和许多其他行业寿命数据分析的标准工具。

形状参数 β 代表什么意思？

形状参数 β (beta) 控制故障率的行为。当 β 小于 1 时，故障率随时间递减，模拟婴儿期死亡率或早期失效。当 β 等于 1 时，故障率保持恒定，威布尔分布简化为指数分布。当 β 大于 1 时，故障率随时间递增，模拟耗损和老化。β 约为 3.6 时近似于正态分布，这对于对称疲劳寿命建模非常有用。

威布尔分析中的 B10 寿命是什么？

B10 寿命（也写为 B₁₀ 或 L₁₀）是指预计总体中有 10% 发生故障的时间，意味着 90% 的个体生存。它是可靠性工程中用于保修规划、维护调度和规格合规性的关键指标。类似地，B1 寿命意味着 1% 的故障率。这些 B-寿命值是根据威布尔 CDF 的反函数计算的：t = η × (−ln(1−p))^(1/β)。

威布尔分布和指数分布之间是什么关系？

当形状参数 β 等于 1 时，指数分布是威布尔分布的一个特例。在这种情况下，故障率随时间保持恒定，这对应于无记忆特性。威布尔分布通过允许故障率随时间变化（β 小于 1 时递减，β 大于 1 时递增），对指数分布进行了泛化。

什么是特征寿命 η？

尺度参数 η (eta) 也称为特征寿命，是指总体中正好 63.2% 的个体发生故障的时间。无论 β 的值是多少，这一点都成立，因为 F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0.632。在可靠性工程中，η 作为分布的自然参考点和时间尺度。

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由 miniwebtool 团队。更新日期：2026-04-14

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关键公式

实际应用领域

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统计与数据分析:

常用工具:

属性	公式	描述
PDF	\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)	x 处的概率密度
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)	到时间 x 为止的故障概率
可靠度	\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)	在时间 x 处的生存概率
风险率	\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)	瞬时故障率
均值	\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)	平均故障时间 (MTTF)
方差	\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)	寿命分布的离散程度
中位数	\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)	第 50 百分位寿命
众数	\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) 当 β > 1	最可能的寿命
B-寿命	\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)	p 比例单元发生故障的时间
特征寿命	\(\eta\) → F(η) = 63.2%	尺度参数的物理含义