Kalkulator śladu macierzy

Witaj w Kalkulatorze śladu macierzy, interaktywnym narzędziu do obliczania śladu dowolnej macierzy kwadratowej — czyli sumy elementów na jej głównej przekątnej. Ślad jest pozornie prosty, a jednocześnie niezwykle ważny: jest równy sumie wartości własnych, pozostaje niezmienny przy przekształceniach przez podobieństwo i pojawia się wszędzie, od mechaniki kwantowej po uczenie maszynowe. Ten kalkulator zapewnia obliczenia krok po kroku, weryfikację wartości własnych, ślad potęg macierzy, wykrywanie właściwości oraz wizualną heatmapę podkreślającą przekątną.

Co to jest ślad macierzy?

Ślad macierzy A o wymiarach n×n, zapisywany jako tr(A), definiuje się jako sumę elementów na przekątnej:

Tylko macierze kwadratowe (ta sama liczba wierszy i kolumn) mają ślad. Jest to jedna z dwóch najbardziej podstawowych funkcji skalarnych macierzy — drugą jest wyznacznik.

Ślad a wartości własne

Jedną z najbardziej niezwykłych właściwości śladu jest jego związek z wartościami własnymi:

Zależność ta zachodzi nawet wtedy, gdy wartości własne są liczbami zespolonymi — części urojone zawsze znoszą się w przypadku macierzy rzeczywistych, gwarantując rzeczywisty ślad. Ta tożsamość wynika z faktu, że zarówno ślad, jak i suma wartości własnych są równe ujemnemu współczynnikowi przy \(x^{n-1}\) w wielomianie charakterystycznym \(\det(A - xI)\).

Kluczowe właściwości śladu

Liniowość

Ślad jest funkcjonałem liniowym na przestrzeni macierzy:

• \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
• \(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\) dla dowolnego skalara c

Właściwość cykliczna

Ślad jest niezmienny przy cyklicznych permutacjach iloczynów macierzy:

Uwaga: nie oznacza to, że tr(ABC) = tr(BAC) w ogólnym przypadku. Dopuszczalne są tylko permutacje cykliczne.

Niezmienniczość podobieństwa

Jeśli B = P^-1AP dla pewnej macierzy odwracalnej P, to tr(B) = tr(A). To sprawia, że ślad jest niezmiennikiem podobieństwa, co oznacza, że nie zależy on od wyboru bazy.

Niezmienniczość transpozycji

tr(A) = tr(A^T), ponieważ transponowanie macierzy nie zmienia elementów na przekątnej.

Związek z normą Frobeniusa

Zastosowania śladu

Specjalne typy macierzy i ich ślady

Ślad potęg macierzy i tożsamości Newtona

Ślady potęg macierzy, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., zawierają pełną informację o spektrum wartości własnych. Poprzez tożsamości Newtona, te ślady potęgowe mogą zrekonstruować cały wielomian charakterystyczny:

Oznacza to, że sekwencja śladów {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} całkowicie determinuje wartości własne macierzy A.

Często zadawane pytania

Co to jest ślad macierzy?

Ślad macierzy kwadratowej A, oznaczany jako tr(A), to suma elementów na głównej przekątnej: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Jest on zdefiniowany tylko dla macierzy kwadratowych (n×n). Ślad jest jednym z najbardziej podstawowych niezmienników macierzowych w algebrze liniowej.

Jak ślad jest powiązany z wartościami własnymi?

Ślad macierzy jest równy sumie jej wartości własnych (liczonych z krotnością algebraiczną): tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n. Wynika to z faktu, że zarówno ślad, jak i suma wartości własnych są równe ujemnemu współczynnikowi przy x^n-1 w wielomianie charakterystycznym.

Jakie są kluczowe właściwości śladu?

Kluczowe właściwości: (1) Liniowość: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Niezmienniczość transpozycji: tr(A) = tr(A^T). (3) Właściwość cykliczna: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Niezmienniczość podobieństwa: tr(P^-1AP) = tr(A). (5) tr(A^TA) = suma kwadratów wszystkich elementów = ‖A‖²_F (kwadrat normy Frobeniusa).

Dlaczego ślad jest ważny w algebrze liniowej?

Ślad jest niezmiennikiem podobieństwa — nie zmienia się przy zmianie bazy. Razem z wyznacznikiem, ślad charakteryzuje zachowanie przekształceń liniowych. W fizyce ślad pojawia się w mechanice kwantowej (wartości oczekiwane), ogólnej teorii względności (skalar Ricciego) i mechanice statystycznej (funkcje podziału). W uczeniu maszynowym jest używany w regularyzacji i metodach jądrowych.

Co to jest macierz bezśladowa?

Macierz bezśladowa ma tr(A) = 0, co oznacza, że suma jej elementów na przekątnej wynosi zero. Macierze bezśladowe tworzą algebrę Liego sl(n), która odgrywa centralną rolę w fizyce teoretycznej i geometrii różniczkowej. Każdą macierz można rozłożyć jako A = (tr(A)/n)I + B, gdzie B jest bezśladowa.

Jak obliczyć ślad macierzy?

Aby obliczyć ślad: (1) Zidentyfikuj elementy głównej przekątnej a₁₁, a₂₂, ..., a_nn — są to wpisy, w których indeks wiersza jest równy indeksowi kolumny. (2) Dodaj je do siebie: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Na przykład dla [[1,2],[3,4]], ślad wynosi 1 + 4 = 5.

Dodatkowe zasoby

• Ślad (Algebra liniowa) - Wikipedia
• Algorytmy wartości własnych - Wikipedia (EN)
• Wielomian charakterystyczny - Wikipedia