Kalkulator rzędu macierzy

Witaj w Kalkulatorze rzędu macierzy, kompleksowym narzędziu algebry liniowej, które wyznacza rząd dowolnej macierzy za pomocą eliminacji Gaussa. Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów wierszowych lub kolumnowych — fundamentalna koncepcja, która decyduje o tym, czy układy równań mają rozwiązania, czy przekształcenia są odwracalne i jak można kompresować dane. Ten kalkulator zapewnia redukcję wierszy krok po kroku, analizę elementów osiowych, obliczanie jądra macierzy, wizualne mapy ciepła oraz weryfikację za pomocą twierdzenia o rzędzie i jądrze.

Co to jest rząd macierzy?

Rząd macierzy A jest definiowany jako:

Równoważnie, rząd to:

• Liczba pozycji osiowych (pivots) w postaci schodkowej macierzy A
• Wymiar przestrzeni kolumnowej (obrazu) macierzy A
• Wymiar przestrzeni wierszowej macierzy A
• Liczba niezerowych wartości osobliwych (SVD) macierzy A
• Stopień największego niezerowego minora (wyznacznika podmacierzy kwadratowej)

Dla macierzy m×n, rząd spełnia warunek \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\).

Jak eliminacja Gaussa wyznacza rząd

Eliminacja Gaussa (zwana również redukcją wierszy) przekształca macierz do postaci schodkowej (REF) przy użyciu trzech elementarnych operacji na wierszach:

1. Zamiana wierszy: Zamiana dwóch wierszy miejscami (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. Skalowanie wiersza: Pomnożenie wiersza przez niezerowy skalar (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. Dodawanie wierszy: Dodanie wielokrotności jednego wiersza do drugiego (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

W postaci schodkowej:

• Wszystkie zerowe wiersze znajdują się na dole
• Pierwszy niezerowy element (element osiowy) każdego wiersza znajduje się na prawo od elementu osiowego wiersza powyżej
• Rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy (elementów osiowych) w postaci REF

Ten kalkulator wykorzystuje częściowy wybór elementu osiowego — wybierając największą wartość bezwzględną w każdej kolumnie jako punkt odniesienia — dla poprawy stabilności numerycznej.

Twierdzenie o rzędzie i jądrze

Gdzie n to liczba kolumn macierzy A. Nullity (defekt macierzy) to wymiar jądra macierzy — zbioru wszystkich rozwiązań równania Ax = 0. Twierdzenie to oznacza, że kolumny są albo kolumnami osiowymi (wpływającymi na rząd), albo kolumnami wolnymi (wpływającymi na defekt).

Rząd a układy równań liniowych

Rząd macierzy bezpośrednio decyduje o rozwiązalności układu liniowego Ax = b:

Przypadki szczególne i właściwości

Pełny rząd

Macierz ma pełny rząd, gdy rank(A) = min(m, n):

• Dla macierzy kwadratowych n×n: pełny rząd oznacza odwracalność (det ≠ 0) i trywialne jądro
• Dla macierzy "wysokich" (m > n): pełny rząd kolumnowy oznacza iniekcję (funkcję różnowartościową)
• Dla macierzy "szerokich" (m < n): pełny rząd wierszowy oznacza suriekcję (funkcję "na")

Macierze o niepełnym rzędzie

Jeśli rank(A) < min(m, n), macierz ma niepełny rząd (jest osobliwa dla macierzy kwadratowych). Dzieje się tak, gdy wiersze lub kolumny są liniowo zależne.

Kluczowe tożsamości

• rank(A) = rank(A^T) — rząd wierszowy równa się rzędowi kolumnowemu
• rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) — ograniczenie rzędu iloczynu
• rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) — podaddytywność
• rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A)

Rząd macierzy w różnych dziedzinach

Często zadawane pytania

Co to jest rząd macierzy?

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów wierszowych (lub kolumnowych) w macierzy. Określa on wymiar przestrzeni kolumnowej (lub wierszowej). Dla macierzy m×n, rząd wynosi co najwyżej min(m, n). Macierz o rzędzie równym min(m, n) nazywana jest macierzą pełnego rzędu.

Jak oblicza się rząd macierzy za pomocą eliminacji Gaussa?

Eliminacja Gaussa przekształca macierz do postaci schodkowej (REF) przez operacje elementarne. Rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy (pozycji osiowych) w tej postaci.

Czym jest Twierdzenie o Rzędzie i Jądrze?

Twierdzenie to stwierdza, że dla dowolnej macierzy A o n kolumnach, suma rzędu i wymiaru jądra (nullity) jest równa n. Łączy ono wymiary obrazu i jądra przekształcenia liniowego.

Kiedy macierz ma pełny rząd?

Gdy jej rząd jest równy mniejszemu z jej wymiarów (wierszy lub kolumn). Dla macierzy kwadratowej oznacza to, że jest ona odwracalna.

Jaka jest różnica między rzędem wierszowym a kolumnowym?

W dowolnej macierzy rząd wierszowy i kolumnowy są zawsze sobie równe. Ta wspólna wartość to właśnie rząd macierzy.

Jak rząd macierzy wiąże się z układami równań liniowych?

Rząd macierzy głównej i rozszerzonej pozwala stwierdzić, czy układ ma rozwiązania, a jeśli tak, to czy rozwiązanie jest unikalne, czy zależy od parametrów wolnych.

Dodatkowe zasoby

• Rząd macierzy - Wikipedia
• Eliminacja Gaussa - Wikipedia
• Twierdzenie o rzędzie - Wikipedia