Kalkulator promienia zbieżności
Wyznacz promień i przedział zbieżności dla szeregów potęgowych, korzystając z kryterium d’Alemberta (ilorazowego) lub Cauchy’ego (pierwiastkowego), wraz z rozwiązaniami krok po kroku, wizualizacją zbieżności i analizą punktów końcowych.
Blokada reklam uniemożliwia wyświetlanie reklam
MiniWebtool jest darmowy dzięki reklamom. Jeśli to narzędzie Ci pomogło, wesprzyj nas przez Premium (bez reklam + szybciej) albo dodaj MiniWebtool.com do wyjątków i odśwież stronę.
- Albo przejdź na Premium (bez reklam)
- Zezwól na reklamy dla MiniWebtool.com, potem odśwież
O Kalkulator promienia zbieżności
Witamy w kalkulatorze promienia zbieżności, kompleksowym narzędziu do analizy zbieżności szeregów potęgowych. Niezależnie od tego, czy studiujesz analizę matematyczną, przygotowujesz się do egzaminów, czy prowadzisz badania matematyczne, ten kalkulator określa promień i przedział zbieżności przy użyciu kryterium d'Alemberta lub kryterium Cauchy'ego, dostarczając szczegółowe rozwiązania krok po kroku z zapisem matematycznym.
Co to jest promień zbieżności?
Promień zbieżności \( R \) szeregu potęgowego \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \) jest nieujemną rozszerzoną liczbą rzeczywistą taką, że szereg jest zbieżny bezwzględnie dla \( |x - c| < R \) i rozbieżny dla \( |x - c| > R \). Na granicy \( |x - c| = R \) zbieżność musi być sprawdzana oddzielnie dla każdego punktu końcowego.
Promień zbieżności definiuje symetryczny przedział wokół środka \( c \), wewnątrz którego szereg potęgowy reprezentuje dobrze określoną funkcję. Koncepcja ta jest fundamentalna w analizie, równaniach różniczkowych i wielu dziedzinach matematyki stosowanej.
Postać ogólna szeregu potęgowego
Metody znajdowania promienia zbieżności
Kryterium d'Alemberta (ilorazowe)
Najczęściej stosowana metoda. Oblicz granicę:
Kryterium d'Alemberta jest szczególnie skuteczne, gdy wyraz ogólny zawiera silnie, funkcje wykładnicze lub iloczyny. Bezpośrednio porównuje tempo wzrostu kolejnych wyrazów.
Kryterium Cauchy'ego (wzór Cauchy-Hadamarda)
Alternatywa, która jest czasem silniejsza:
Kryterium Cauchy'ego jest szczególnie przydatne, gdy wyraz ogólny zawiera n-te potęgi, takie jak \( a_n = r^n \), lub wyrażenia, w których stosunek kolejnych wyrazów jest trudny do uproszczenia.
Jak korzystać z tego kalkulatora
- Wybierz tryb wprowadzania: Wprowadź wyraz ogólny \( a_n \) jako wyrażenie matematyczne lub podaj listę współczynników.
- Określ środek: Wprowadź środek \( c \) swojego szeregu potęgowego (domyślnie 0 dla szeregu Maclaurina).
- Wybierz kryterium: Wybierz pomiędzy kryterium d'Alemberta a Cauchy'ego w zależności od postaci Twojego szeregu.
- Oblicz: Kliknij przycisk, aby zobaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności, wyprowadzenie krok po kroku i wizualizację zbieżności.
Zrozumienie wyników
Trzy możliwe wyniki
- \( R = \infty \): Szereg jest zbieżny dla wszystkich liczb rzeczywistych \( x \). Przykłady obejmują \( e^x, \sin(x), \cos(x) \).
- \( 0 < R < \infty \): Szereg jest zbieżny w przedziale otwartym \( (c - R, c + R) \) i rozbieżny na zewnątrz. Punkty końcowe wymagają oddzielnej analizy.
- \( R = 0 \): Szereg jest zbieżny tylko w środku \( x = c \). Przykład: \( \sum n! \cdot x^n \).
Analiza punktów końcowych
Gdy \( 0 < R < \infty \), kryteria d'Alemberta i Cauchy'ego nie rozstrzygają o zbieżności w punktach \( x = c \pm R \). Potrzebne są dodatkowe testy:
- Kryterium Leibniza: Dla szeregów naprzemiennych w punktach końcowych
- Szereg p-harmoniczny: Porównanie z \( \sum 1/n^p \)
- Kryterium porównawcze: Porównanie ze znanym szeregiem zbieżnym lub rozbieżnym
- Warunek konieczny zbieżności: Jeśli wyrazy nie dążą do zera, szereg jest rozbieżny
Typowe szeregi potęgowe i ich promienie
| Funkcja | Szereg potęgowy | Promień R | Przedział |
|---|---|---|---|
| \( e^x \) | \( \sum \frac{x^n}{n!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \sin(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \cos(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \frac{1}{1-x} \) | \( \sum x^n \) | \( 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( \ln(1+x) \) | \( \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \) | \( 1 \) | \( (-1, 1] \) |
| \( \arctan(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \) | \( 1 \) | \( [-1, 1] \) |
| \( (1+x)^\alpha \) | \( \sum \binom{\alpha}{n} x^n \) | \( 1 \) | Zależy od \( \alpha \) |
Kiedy stosować każde z kryteriów
Użyj kryterium d'Alemberta, gdy:
- Wyraz ogólny zawiera silnie (np. \( n! \), \( (2n)! \))
- Wyraz zawiera iloczyny kolejnych liczb całkowitych
- Możesz łatwo uprościć stosunek \( a_{n+1}/a_n \)
Użyj kryterium Cauchy'ego, gdy:
- Wyraz ogólny ma postać \( (f(n))^n \)
- Wyraz zawiera n-te potęgi, które upraszczają się pod pierwiastkiem n-tego stopnia
- Kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga (oba testy są zgodne, gdy oba działają, ale kryterium Cauchy'ego jest matematycznie silniejsze)
Przewodnik po składni wejściowej
- Potęgi: Użyj
**lub^(np.n**2lubn^2) - Silnia: Użyj
factorial(n)(np.1/factorial(n)) - Typowe funkcje:
sin,cos,tan,exp,log,ln,sqrt - Stałe:
pi,e - Zmienna: Użyj
njako zmiennej indeksującej,xjako zmiennej szeregu
Często zadawane pytania
Co to jest promień zbieżności?
Promień zbieżności R szeregu potęgowego to odległość od środka szeregu do granicy obszaru, w którym szereg jest zbieżny. Dla szeregu potęgowego o środku w punkcie a, szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy |x - a| < R, a rozbieżny, gdy |x - a| > R. R może wynosić 0 (zbieżność tylko w środku), być liczbą dodatnią lub nieskończonością (zbieżność wszędzie).
Jak znaleźć promień zbieżności za pomocą kryterium d'Alemberta?
Aby znaleźć promień zbieżności za pomocą kryterium d'Alemberta: oblicz L = lim(n do nieskończoności) |a_{n+1}/a_n|. Promień zbieżności wynosi R = 1/L. Jeśli L = 0, R = nieskończoność (zbieżność wszędzie). Jeśli L = nieskończoność, R = 0 (zbieżność tylko w środku). Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy |x - a| < R.
Jaka jest różnica między kryterium d'Alemberta a kryterium Cauchy'ego?
Oba testy określają promień zbieżności, ale stosują różne podejścia. Kryterium d'Alemberta oblicza granicę |a_{n+1}/a_n|, podczas gdy kryterium Cauchy'ego oblicza granicę |a_n|^(1/n). Kryterium Cauchy'ego jest czasem silniejsze (działa wszędzie tam, gdzie d'Alembert, plus w przypadkach, gdzie on zawodzi), ale d'Alembert jest często prostszy dla wyrażeń z silniami.
Czy promień zbieżności mówi nam coś o punktach końcowych?
Nie. Promień zbieżności mówi tylko o zbieżności bezwzględnej wewnątrz przedziału i rozbieżności na zewnątrz. W punktach końcowych x = a - R oraz x = a + R szereg może być zbieżny lub rozbieżny, a każdy punkt musi być badany oddzielnie innymi testami, takimi jak kryterium Leibniza czy porównawcze.
Jakie są typowe szeregi potęgowe i ich promienie zbieżności?
Typowe przykłady: e^x ma R = nieskończoność; sin(x) i cos(x) mają R = nieskończoność; 1/(1-x) (szereg geometryczny) ma R = 1; ln(1+x) ma R = 1; szereg sumy x^n/n! ma R = nieskończoność; a suma n!*x^n ma R = 0.
Dodatkowe zasoby
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator promienia zbieżności" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 18 lutego 2026 r.
Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.