심프슨 법칙 계산기

함수와 구간을 넣어 심프슨 1/3·3/8 규칙으로 정적분을 바로 근사합니다. 오차 추정과 포물선 그림, 단계별 풀이가 붙습니다.

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심프슨 법칙 계산기 정보

심프슨 법칙 계산기는 표본 점들을 통해 포물선 곡선(1/3 법칙) 또는 삼차 곡선(3/8 법칙)을 맞춰 정적분을 근사하는 강력한 수치 적분 도구입니다. 점들 사이에 직선을 사용하는 사다리꼴 공식과 달리, 심프슨 법칙은 함수의 곡률을 포착하여 O(h⁴)의 정확도를 제공하므로 미적분학, 공학 및 과학 계산에서 가장 널리 사용되는 방법 중 하나입니다.

주요 기능

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이중 법칙 지원

심프슨 1/3 법칙(이차 보간, 짝수 n)과 3/8 법칙(삼차 보간, 3의 배수 n) 중에서 선택할 수 있습니다. 두 방법 모두 전체 MathJax 단계별 풀이가 계산됩니다.

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대화형 시각화

곡선 아래에 그려진 포물선 세그먼트를 확인하세요. 마우스를 올려 개별 세그먼트를 강조하고 해당 면적을 볼 수 있습니다. 수렴 과정을 애니메이션으로 보거나 슬라이더를 사용하여 다양한 n 값을 탐색할 수 있습니다.

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방법 비교

동일한 함수와 범위에 대해 심프슨 1/3, 3/8, 사다리꼴 공식 및 중점 법칙의 결과를 나란히 자동 비교합니다. 어떤 방법이 최상의 근사치를 제공하는지 확인하세요.

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오차 분석

4계 도함수를 사용한 자동 오차 한계 계산 기능입니다. 오차 공식 $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $을 통해 근사치가 얼마나 정확한지 정확하게 알려줍니다.

심프슨 법칙 계산기 사용 방법

함수 입력 — x^2, sin(x), exp(-x^2) 또는 지원되는 함수의 조합과 같은 수학 표현식 f(x)를 입력합니다.
적분 범위 설정 — 하한(a)과 상한(b)을 입력하고 소구간의 수(n)를 선택합니다.
법칙 선택 — 심프슨 1/3 법칙(짝수 n 필요, 홀수인 경우 자동 조정) 또는 3/8 법칙(3의 배수인 n 필요, 자동 조정)을 선택합니다.
계산하기 클릭 — 도구가 MathJax로 렌더링된 전체 단계별 풀이와 함께 근사치를 계산합니다.
결과 탐색 — 포물선 시각화와 상호작용하고, 세그먼트별 면적을 검토하고, 방법을 비교하고, 수렴 분석을 연구합니다.

심프슨 1/3 법칙 설명

복합 심프슨 1/3 법칙은 [a, b]를 n개의 동일한 소구간(n은 반드시 짝수)으로 나누고 매 세 개의 연속된 점을 통과하는 포물선을 맞춥니다.

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

여기서 $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $입니다. 계수는 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1의 패턴을 따릅니다. 각 소구간 쌍은 세 개의 점을 통과하는 이차 다항식을 사용하여 선형 보간보다 훨씬 더 잘 함수의 곡률을 포착합니다.

심프슨 3/8 법칙 설명

3/8 법칙은 세 개의 소구간 그룹에 대해 삼차 보간법을 사용합니다(n은 3의 배수여야 함):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

계수는 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1의 패턴을 따릅니다. 두 법칙 모두 O(h⁴)의 정확도를 달성하지만, 3/8 법칙은 n이 짝수가 아닐 때 유용합니다.

오차 비교

방법	오차 차수	오차 한계	정확한 함수
사다리꼴 공식	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	일차 함수
심프슨 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	삼차 이하 함수
심프슨 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	삼차 이하 함수

n을 두 배로 늘리면 사다리꼴 공식의 오차가 약 4배 감소하는 데 반해, 심프슨 법칙의 오차는 약 16배 감소합니다. 따라서 심프슨 법칙은 매끄러운 함수에 대해 훨씬 빠르게 수렴합니다.

각 법칙을 사용해야 하는 경우

심프슨 1/3 법칙 — 대부분의 응용 분야에 가장 적합합니다. n이 짝수일 때(또는 짝수로 만들 수 있을 때) 사용합니다. 세 가지 기본 뉴턴-코츠 공식 중에서 함수 평가당 가장 정확합니다.
심프슨 3/8 법칙 — n이 3의 배수이지만 짝수가 아닐 때 사용합니다. 또한 홀수 소구간 수를 처리하기 위해 1/3 법칙과 결합하여 복합 공식을 만들 때도 유용합니다.
사다리꼴 공식 — 데이터 간격이 불규칙하거나, n이 홀수이면서 작을 때, 또는 정확도보다 단순함이 더 중요할 때 선호됩니다. 또한 고계 도함수가 불연속적인 함수에도 더 적합할 수 있습니다.

지원되는 함수

이 계산기는 광범위한 수학 함수를 지원합니다:

다항식: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
삼각 함수: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
지수/로그 함수: exp(x), ln(x), log(x)
거듭제곱근: sqrt(x)
상수: pi, e
조합: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

자주 묻는 질문

심프슨 법칙이란 무엇인가요?

심프슨 법칙은 표본 점들을 통과하는 포물선(또는 삼차 곡선)을 맞춰 정적분을 근사하는 수치 적분 방법입니다. 매끄러운 함수의 경우 사다리꼴 공식보다 훨씬 정확하며, 오차 차수가 사다리꼴 공식의 O(h²)보다 높은 O(h⁴)입니다.

심프슨 1/3 법칙과 3/8 법칙의 차이점은 무엇인가요?

심프슨 1/3 법칙은 소구간 쌍에 대해 이차(포물선) 보간법을 사용하며 짝수 개의 소구간이 필요합니다. 심프슨 3/8 법칙은 세 개의 소구간 그룹에 대해 삼차 보간법을 사용하며 n이 3의 배수여야 합니다. 일반적으로 동일한 n에 대해 1/3 법칙이 더 정확하지만, n이 짝수가 아닐 때는 3/8 법칙이 유용합니다.

왜 심프슨 1/3 법칙은 짝수 개의 소구간이 필요한가요?

심프슨 1/3 법칙은 세 개의 연속된 점(한 번에 두 개의 소구간)을 통해 포물선을 맞추는 방식으로 작동합니다. 각 포물선 세그먼트가 정확히 2개의 소구간을 차지하므로, 영역 전체를 덮으려면 전체 소구간 수가 짝수여야 합니다.

심프슨 법칙은 사다리꼴 공식에 비해 얼마나 정확한가요?

심프슨 1/3 법칙은 O(h⁴)의 오차를 갖는 반면 사다리꼴 공식은 O(h²)입니다. 즉, 소구간 수를 두 배로 늘리면 심프슨 법칙의 오차는 약 16배 감소하지만 사다리꼴 공식은 4배만 감소합니다. 매끄러운 함수의 경우 심프슨 법칙이 훨씬 더 정확합니다.

계산기에 어떤 함수를 입력할 수 있나요?

x^2 또는 x^3-2x+1과 같은 다항식, sin(x) 및 cos(x)와 같은 삼각 함수, exp(x) 및 ln(x)와 같은 지수 및 로그 함수, sqrt(x)와 같은 거듭제곱근 및 이들의 조합을 입력할 수 있습니다. 상수 pi와 e도 지원됩니다. 지수에는 ^를 사용하고 표준 함수 표기법을 사용하세요.

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MiniWebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-05

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