雙曲函數計算機

雙曲函數計算機

歡迎使用雙曲函數計算機，這是一個功能強大的線上工具，用於以極高的精度計算雙曲函數。計算 sinh, cosh, tanh 及其反函數 (asinh, acosh, atanh)，精度高達 1000 位小數，並配有分步解決方案和交互式可視化圖表。

什麼是雙曲函數？

雙曲函數是數學函數，是普通三角函數的類似物，但使用雙曲線而不是圓來定義。三角函數與單位圓 $x^2 + y^2 = 1$ 上的點有關，而雙曲函數與單位雙曲線 $x^2 - y^2 = 1$ 上的點有關。

三個主要的雙曲函數是：

• 雙曲正弦 (sinh): 定義為 $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• 雙曲餘弦 (cosh): 定義為 $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• 雙曲正切 (tanh): 定義為 $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

基本雙曲恆等式

就像三角函數滿足 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ 一樣，雙曲函數也滿足基本恆等式：

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

這個恆等式可以對任何實數 x 進行驗證，它是 cosh 和 sinh 指數定義的直接結果。

雙曲函數的定義域和值域

如何使用此計算機

1. 輸入輸入值：在輸入框中輸入一個數字。對於 sinh, cosh, tanh 和 asinh，這可以是任何實數。對於 acosh，輸入一個大於或等於 1 的值。對於 atanh，輸入一個介於 -1 和 1 之間的值。
2. 選擇函數：使用函數卡片或下拉菜單從 sinh, cosh, tanh（直接函數）或 asinh, acosh, atanh（反函數）中選擇。
3. 設置精度：輸入所需的小數位數 (1-1000) 或從預設值（如 10, 50, 100 或 500 位小數）中選擇。
4. 計算並查看結果：點擊“計算”以查看所選精度的結果，以及分步計算、交互式圖表和相關函數值。

雙曲函數的應用

常見問題解答

什麼是雙曲函數？

雙曲函數是三角函數的模擬，但基於單位雙曲線 $x^2 - y^2 = 1$ 而不是單位圓。主要的雙曲函數是 sinh（雙曲正弦）、cosh（雙曲餘弦）和 tanh（雙曲正切），使用指數函數定義。

sinh(x) 的公式是什麼？

雙曲正弦定義為 $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$。它是一個奇函數，其定義域和值域覆蓋所有實數。$\sinh(0) = 0$。

什麼是基本雙曲恆等式？

基本雙曲恆等式是 $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$，類似於三角恆等式 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$。這個恆等式可以對任何實數 x 進行驗證。

雙曲函數在哪裡使用？

雙曲函數出現在許多領域，包括：物理（ 狹義相對論、波動方程）、工程（懸鏈線、信號處理）、建築（懸索橋、拱門）和機器學習（神經網路中的 tanh 激活函數）。

acosh(x) 的定義域是什麼？

反雙曲餘弦 acosh(x) 僅對 $x \geq 1$ 有定義，因為 cosh(x) 總是返回大於或等於 1 的值。acosh 的值域是 $[0, +\infty)$。

參考資料

• 雙曲函數 - 維基百科
• 雙曲函數 - Wolfram MathWorld
• 懸鏈線 - 維基百科
• 神經網路中的激活函數 - 維基百科

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