点到平面距离计算器
计算从点 (x₀, y₀, z₀) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的最短垂直距离。获取分步解答、垂足坐标、交互式 3D 可视化和几何分析。
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点到平面距离计算器
欢迎使用点到平面距离计算器 —— 这是一个交互式 3D 几何工具，可以计算点到平面的最短垂直距离，提供逐步公式推导、垂足坐标、可拖动的 3D 可视化以及详细的几何分析。无论您是学生、工程师还是数学爱好者，此工具都能让 3D 距离计算变得即时且直观。
点到平面的距离公式
点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的垂直（最短）距离为：
其中：
- \(A, B, C\) 是平面法向量的分量
- \(D\) 是平面方程中的常数
- \((x_0, y_0, z_0)\) 是点的坐标
- 分母 \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\) 是法向量的模
理解公式
为什么这个公式有效？
距离公式源于将从平面上任意一点到点 P 的向量投影到平面的单位法向量上。如果 Q 是平面上的任意一点，那么垂直距离为：
由于 \(\vec{n} = (A, B, C)\)，且平面上任何一点 Q 都满足 \(Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0\)，因此点积简化为 \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\)。
有符号距离
去掉绝对值，您将得到有符号距离：
- 正值：点位于法向量指示的一侧
- 负值：点位于相反的一侧
- 零：点正好位于平面上
垂足
垂足是平面上距离给定点最近的点。它是通过从点 P 开始沿负法向量方向移动一段等于有符号距离的长度来找到的：
其中 \(\vec{n} = (A, B, C)\) 是法向量。参数 \(t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\) 表示我们必须从 P 沿法线方向行进多远才能到达平面。
如何使用此计算器
- 输入点坐标：输入三维空间中点的 x₀, y₀, z₀。支持负数和小数。
- 输入平面方程：输入平面 Ax + By + Cz + D = 0 的 A, B, C, D。A, B, C 中至少有一个必须是非零值。
- 设置精度：选择结果的小数位数。
- 点击计算：查看距离、垂足、单位法向量、逐步解决方案和交互式 3D 可视化。
- 与 3D 视图交互：拖动可视化图形以旋转并探索几何关系。
相关距离公式
| 公式 | 描述 | 维度 |
|---|---|---|
| 点到平面 | \(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) | 3D |
| 点到直线 (2D) | \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) | 2D |
| 点到点 | \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\) | 3D |
| 平行平面 | \(d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) | 3D |
常见应用
计算机图形学与游戏开发
点到平面的距离是碰撞检测的基础，用于确定物体是否与表面相交。它还用于视锥体剔除以确定哪些物体对摄像机可见，以及用于阴影映射算法。
工程与 CAD
工程师使用此计算进行公差分析（确保零件符合规格）、表面偏差测量以及制造中的质量控制。CNC 机器依靠点到平面的距离进行刀具路径计算。
物理与导航
在物理学中，该公式有助于计算点电荷到导电平面的距离，或飞机在倾斜地形表面上方的高度。GPS 系统使用类似的计算来确定相对于参考平面的位置。
机器学习与数据科学
在支持向量机 (SVM) 中，类之间的间隔被计算为数据点到分离超平面的距离。这一概念自然地从 3D 公式扩展到更高维度。
常见问题解答
点到平面的距离公式是什么？
点 P(x₀, y₀, z₀) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的垂直距离为 d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。这给出了最短距离，该距离始终垂直于平面。
什么是点到平面的垂足？
垂足是平面上距离给定点最近的点。它是通过将点沿法向量投影到平面上找到的：F = P − t·n，其中 t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) 且 n = (A, B, C)。
点到平面的有符号距离是什么意思？
有符号距离表示点在平面的哪一侧。正数表示与法向量同侧，负数表示异侧，零表示点在平面上。这在碰撞检测和半空间分类中非常有用。
如何定义平面方程 Ax + By + Cz + D = 0？
系数 A, B, C 构成平面的法向量，D 决定平面的位置。给定平面上的一点 Q 和法向量 (A, B, C)，则 D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q)。您还可以通过三个不共线的点利用叉积推导出该方程。
该公式适用于 2D（点到直线的距离）吗？
是的！点 (x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 距离的 2D 模拟公式是 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。3D 公式是这一概念向更高维度的直接推广。
其他资源
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由 miniwebtool 团队开发。更新日期：2026年2月18日
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