เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์

คำนวณผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวใน 2 มิติ 3 มิติ หรือมิติที่สูงกว่า หามุมระหว่างเวกเตอร์ ขนาด การฉายเชิงสเกลาร์และเวกเตอร์ ความหมายเชิงเรขาคณิต และสูตรทีละขั้นตอนพร้อมไดอะแกรมแบบโต้ตอบ

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์ลองใช้เลย — ฟรี ▼

Embed เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์

เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์จะคำนวณผลคูณสเกลาร์ของสองเวกเตอร์ในมิติ 2D, 3D หรือมิติที่สูงกว่าโดยใช้สูตรทางพีชคณิต \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) เพียงป้อนส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสองของคุณเพื่อรับค่าดอทโปรดักต์, มุมระหว่างเวกเตอร์, ขนาด, ภาพฉายสเกลาร์และเวกเตอร์, การตีความทางเรขาคณิต และวิธีทำทีละขั้นตอนพร้อมแผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบได้ทันที

การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง

⚡

ฟิสิกส์: งาน

W = F · d คำนวณงานที่เกิดจากแรง

💡

แสงสว่าง

การแรเงาแบบ Lambertian ใช้ N · L สำหรับความสว่าง

🤖

การเรียนรู้ของเครื่อง

Cosine similarity วัดความเกี่ยวข้องของเอกสาร

🎮

พัฒนาเกม

การตรวจจับการชนและการตรวจสอบขอบเขตการมองเห็น

📡

การประมวลผลสัญญาณ

ความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณผ่านผลคูณภายใน

🏗

วิศวกรรม

การแยกส่วนประกอบของแรงตามทิศทางต่างๆ

สูตรที่สำคัญ

คุณสมบัติ	สูตร	คำอธิบาย
ดอทโปรดักต์	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)	ผลรวมของผลคูณตามส่วนประกอบ
รูปแบบทางเรขาคณิต	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)	ผลคูณของขนาดคูณด้วยค่า cosine ของมุม
มุม	\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง (0° ถึง 180°)
ขนาด	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\sum a_i^2}\)	ความยาว (Euclidean norm) ของเวกเตอร์
ภาพฉายสเกลาร์	\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)	ความยาวที่มีเครื่องหมายของ "เงา" ของ a บน b
ภาพฉายเวกเตอร์	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	ส่วนประกอบเวกเตอร์ของ a ตามแนว b

ดอทโปรดักต์ vs. ครอสโปรดักต์

ดอทโปรดักต์ (a · b)

ให้ค่าเป็น สเกลาร์ ใช้ได้ในทุกมิติ (2D, 3D, nD) วัดว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากน้อยเพียงใด มีค่าเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ใช้สำหรับภาพฉาย, มุม และการคำนวณงาน

ครอสโปรดักต์ (a × b)

ให้ค่าเป็น เวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง นิยามเฉพาะใน 3D (และ 7D) ขนาดของมันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสอง มีค่าเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ขนานกัน ใช้สำหรับทอร์ก, เวกเตอร์แนวฉาก และการคำนวณพื้นที่

ทำความเข้าใจกับการตีความทางเรขาคณิต

ดอทโปรดักต์มีความหมายทางเรขาคณิตที่ลึกซึ้ง: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) ซึ่งบอกเราว่า:

ดอทโปรดักต์เป็นบวก (θ < 90°): เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกันโดยประมาณ
ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์ (θ = 90°): เวกเตอร์ตั้งฉากกัน (orthogonal) — นี่คือพื้นฐานของการทดสอบการตั้งฉากในพีชคณิตเชิงเส้น
ดอทโปรดักต์เป็นลบ (θ > 90°): เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางที่ตรงกันข้ามกันโดยประมาณ

ภาพฉายสเกลาร์ของ \(\vec{a}\) บน \(\vec{b}\) จะให้ความยาวที่มีเครื่องหมายของ "เงา" ของ \(\vec{a}\) เมื่อมีแสงส่องลงมาในแนวตั้งฉากกับ \(\vec{b}\) ส่วนภาพฉายเวกเตอร์จะให้เงานี้ในรูปแบบของเวกเตอร์จริงตามแนว \(\vec{b}\)

วิธีใช้เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์

เลือกมิติ: เลือก 2D, 3D, 4D หรือกำหนดเอง (Custom) สำหรับมิติที่สูงกว่า คลิกตัวอย่างด่วนเพื่อเติมค่าตัวอย่างอัตโนมัติ
ป้อนเวกเตอร์ a: พิมพ์ส่วนประกอบที่คั่นด้วยจุลภาค (เช่น 3, 4, 5 สำหรับเวกเตอร์ 3D)
ป้อนเวกเตอร์ b: พิมพ์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ตัวที่สองในมิติเดียวกัน
ดูตัวอย่างแบบสด: แผนภาพเวกเตอร์จะอัปเดตแบบเรียลไทม์ขณะที่คุณพิมพ์ แสดงความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และมุมระหว่างเวกเตอร์
คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อรับผลลัพธ์ทั้งหมด รวมถึงดอทโปรดักต์, มุม, ขนาด, ภาพฉาย, การตีความ และสูตรทีละขั้นตอน

คุณสมบัติของดอทโปรดักต์

การสลับที่: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
การแจกแจง: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
การคูณด้วยสเกลาร์: \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
ดอทโปรดักต์กับตัวเอง: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (กำลังสองของขนาด)
อสมการโคชี-ชวาร์ซ: \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

FAQ

ดอทโปรดักต์ของสองเวกเตอร์คืออะไร?

ดอทโปรดักต์ (เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณสเกลาร์ หรือ ผลคูณภายใน) ของสองเวกเตอร์ a และ b คือผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบที่ตรงกัน: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ โดยจะได้ค่าเป็นสเกลาร์เพียงตัวเดียว ไม่ใช่เวกเตอร์ ในทางเรขาคณิต จะเท่ากับ |a||b|cos θ เมื่อ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์

จะหามุมระหว่างสองเวกเตอร์โดยใช้ดอทโปรดักต์ได้อย่างไร?

ใช้สูตร θ = arccos(a · b / (|a| × |b|)) โดยเริ่มจากคำนวณค่าดอทโปรดักต์ จากนั้นหารด้วยผลคูณของขนาดทั้งสองเพื่อหาค่า cos θ และสุดท้ายใช้ฟังก์ชันอินเวอร์สโคไซน์ (arccos) ผลลัพธ์จะอยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° เสมอ

การที่ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์หมายความว่าอย่างไร?

เมื่อดอทโปรดักต์ของสองเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์มีค่าเป็นศูนย์ แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (orthogonal) หรือทำมุมกัน 90° นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญมากและถูกนำไปใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิตเชิงเส้น ฟิสิกส์ และคอมพิวเตอร์กราฟิกเพื่อทดสอบความตั้งฉาก

ดอทโปรดักต์กับครอสโปรดักต์ต่างกันอย่างไร?

ดอทโปรดักต์ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์และใช้วัดการวางตัวที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ ใช้ได้ในทุกมิติ ส่วนครอสโปรดักต์ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ขาเข้าทั้งสองและนิยามเฉพาะใน 3D เท่านั้น ดอทโปรดักต์ใช้สำหรับหามุมและภาพฉาย ในขณะที่ครอสโปรดักต์ใช้สำหรับทอร์ก, เวกเตอร์แนวฉาก และการคำนวณพื้นที่

ภาพฉายเวกเตอร์คืออะไร?

ภาพฉายเวกเตอร์ของ a บน b คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ a ที่วางตัวอยู่ตามแนวทิศทางของ b มีค่าเท่ากับ (a · b / |b|²) × b ส่วนภาพฉายสเกลาร์ (หรือเรียกว่าส่วนประกอบ) คือ a · b / |b ซึ่งจะให้ความยาวที่มีเครื่องหมายของภาพฉายนี้ หากภาพฉายสเกลาร์เป็นบวก แสดงว่า a มีส่วนประกอบในทิศทางเดียวกับ b หากเป็นลบ แสดงว่ามีทิศทางตรงกันข้ามกับ b

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-09

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.