เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์
คำนวณดอทโปรดักต์ (ผลคูณสเกลาร์) ของสองเวกเตอร์ในรูปแบบ 2D, 3D หรือมิติที่สูงกว่า รับค่ามุมระหว่างเวกเตอร์, ขนาด, การฉายภาพแบบสเกลาร์และแบบเวกเตอร์, การตีความทางเรขาคณิต และสูตรทีละขั้นตอนพร้อมแผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบ
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราแสดงโฆษณาไม่ได้
MiniWebtool ให้ใช้ฟรีได้เพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วยการอัปเกรดเพื่อใช้งานแบบไม่มีโฆษณาและใช้ได้มากขึ้นต่อวัน หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- หรืออัปเกรดเพื่อไม่มีโฆษณาและมีโควตาต่อวันที่สูงขึ้น
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์
เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์จะคำนวณผลคูณสเกลาร์ของสองเวกเตอร์ในมิติ 2D, 3D หรือมิติที่สูงกว่าโดยใช้สูตรทางพีชคณิต \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) เพียงป้อนส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งสองของคุณเพื่อรับค่าดอทโปรดักต์, มุมระหว่างเวกเตอร์, ขนาด, ภาพฉายสเกลาร์และเวกเตอร์, การตีความทางเรขาคณิต และวิธีทำทีละขั้นตอนพร้อมแผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบได้ทันที
การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง
สูตรที่สำคัญ
| คุณสมบัติ | สูตร | คำอธิบาย |
|---|---|---|
| ดอทโปรดักต์ | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\) | ผลรวมของผลคูณตามส่วนประกอบ |
| รูปแบบทางเรขาคณิต | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) | ผลคูณของขนาดคูณด้วยค่า cosine ของมุม |
| มุม | \(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง (0° ถึง 180°) |
| ขนาด | \(|\vec{a}| = \sqrt{\sum a_i^2}\) | ความยาว (Euclidean norm) ของเวกเตอร์ |
| ภาพฉายสเกลาร์ | \(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\) | ความยาวที่มีเครื่องหมายของ "เงา" ของ a บน b |
| ภาพฉายเวกเตอร์ | \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\) | ส่วนประกอบเวกเตอร์ของ a ตามแนว b |
ดอทโปรดักต์ vs. ครอสโปรดักต์
ดอทโปรดักต์ (a · b)
ให้ค่าเป็น สเกลาร์ ใช้ได้ในทุกมิติ (2D, 3D, nD) วัดว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากน้อยเพียงใด มีค่าเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ใช้สำหรับภาพฉาย, มุม และการคำนวณงาน
ครอสโปรดักต์ (a × b)
ให้ค่าเป็น เวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง นิยามเฉพาะใน 3D (และ 7D) ขนาดของมันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสอง มีค่าเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ขนานกัน ใช้สำหรับทอร์ก, เวกเตอร์แนวฉาก และการคำนวณพื้นที่
ทำความเข้าใจกับการตีความทางเรขาคณิต
ดอทโปรดักต์มีความหมายทางเรขาคณิตที่ลึกซึ้ง: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) ซึ่งบอกเราว่า:
- ดอทโปรดักต์เป็นบวก (θ < 90°): เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกันโดยประมาณ
- ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์ (θ = 90°): เวกเตอร์ตั้งฉากกัน (orthogonal) — นี่คือพื้นฐานของการทดสอบการตั้งฉากในพีชคณิตเชิงเส้น
- ดอทโปรดักต์เป็นลบ (θ > 90°): เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางที่ตรงกันข้ามกันโดยประมาณ
ภาพฉายสเกลาร์ของ \(\vec{a}\) บน \(\vec{b}\) จะให้ความยาวที่มีเครื่องหมายของ "เงา" ของ \(\vec{a}\) เมื่อมีแสงส่องลงมาในแนวตั้งฉากกับ \(\vec{b}\) ส่วนภาพฉายเวกเตอร์จะให้เงานี้ในรูปแบบของเวกเตอร์จริงตามแนว \(\vec{b}\)
วิธีใช้เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์
- เลือกมิติ: เลือก 2D, 3D, 4D หรือกำหนดเอง (Custom) สำหรับมิติที่สูงกว่า คลิกตัวอย่างด่วนเพื่อเติมค่าตัวอย่างอัตโนมัติ
- ป้อนเวกเตอร์ a: พิมพ์ส่วนประกอบที่คั่นด้วยจุลภาค (เช่น 3, 4, 5 สำหรับเวกเตอร์ 3D)
- ป้อนเวกเตอร์ b: พิมพ์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ตัวที่สองในมิติเดียวกัน
- ดูตัวอย่างแบบสด: แผนภาพเวกเตอร์จะอัปเดตแบบเรียลไทม์ขณะที่คุณพิมพ์ แสดงความสัมพันธ์เชิงพื้นที่และมุมระหว่างเวกเตอร์
- คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อรับผลลัพธ์ทั้งหมด รวมถึงดอทโปรดักต์, มุม, ขนาด, ภาพฉาย, การตีความ และสูตรทีละขั้นตอน
คุณสมบัติของดอทโปรดักต์
- การสลับที่: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
- การแจกแจง: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
- การคูณด้วยสเกลาร์: \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
- ดอทโปรดักต์กับตัวเอง: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (กำลังสองของขนาด)
- อสมการโคชี-ชวาร์ซ: \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)
FAQ
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-09
คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.
พีชคณิตเชิงเส้น:
- เครื่องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
- เครื่องคิดเลขค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
- เครื่องคิดเลขเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณการแยกเศษส่วนบางส่วน
- เครื่องคิดเลขเวกเตอร์
- เครื่องคำนวณแกรม-ชมิดท์
- เครื่องคำนวณการฉายเวกเตอร์
- เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ LU ของเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD
- เครื่องคำนวณอันดับเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณเทรซเมทริกซ์
- เครื่องคำนวณเมทริกซ์จาโคเบียน ใหม่
- เครื่องคำนวณ RREF (รูปแบบขั้นบันได) ใหม่
- เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน ใหม่
- เครื่องคำนวณการคูณเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณดอทโปรดักต์ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณขนาดเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ใหม่
- เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง ใหม่
- เครื่องคำนวณปริภูมิคอลัมน์ ใหม่
- เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการทแยงมุมเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการแยก QR ใหม่
- เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบโชเลสกี ใหม่
- เครื่องคำนวณยกกำลังเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ ใหม่
- เครื่องคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน ใหม่
- เครื่องคำนวณเลขชี้กำลังเมทริกซ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลคูณเทนเซอร์ ใหม่