Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Zaawansowane działania matematyczne > Kalkulator współczynnika dwumianu
 

Kalkulator współczynnika dwumianu

Oblicz współczynniki dwumianowe C(n, k) z rozwiązaniami krok po kroku, wizualizacją trójkąta Pascala i praktycznymi zastosowaniami w rachunku prawdopodobieństwa.

Kalkulator współczynnika dwumianu
Szybkie przykłady
Podgląd wzoru
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Embed Kalkulator współczynnika dwumianu Widget

O Kalkulator współczynnika dwumianu

Witaj w Kalkulatorze współczynnika dwumianu, darmowym narzędziu online do obliczania C(n, k) - liczby sposobów wyboru k elementów ze zbioru n elementów. Ten kalkulator zapewnia rozwiązania krok po kroku, wizualizację trójkąta Pascala i przykłady zastosowań w świecie rzeczywistym, aby pomóc Ci zrozumieć współczynniki dwumianowe.

Co to jest współczynnik dwumianowy?

Współczynnik dwumianowy, oznaczany jako C(n, k), $\binom{n}{k}$ lub "n po k", reprezentuje liczbę sposobów wyboru k elementów ze zbioru n elementów bez względu na kolejność. Jest to fundamentalne pojęcie w kombinatoryce, rachunku prawdopodobieństwa i algebrze.

$$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Na przykład C(5, 2) = 10, co oznacza, że istnieje 10 sposobów wyboru 2 elementów z 5 różnych elementów.

Jak obliczyć C(n, k)?

Istnieje kilka metod obliczania współczynników dwumianowych:

Metoda 1: Wzór z silnią

Użyj bezpośrednio definicji:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}$$

Przykład: $C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

Metoda 2: Wzór multiplikatywny

Bardziej wydajna metoda, która unika obliczania dużych silni:

$$C(n, k) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}$$

Przykład: $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Metoda 3: Trójkąt Pascala

Odczytaj wartość bezpośrednio z trójkąta Pascala, gdzie wiersz n (zaczynając od 0) zawiera wszystkie wartości C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n).

Związek z trójkątem Pascala

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią. Trójkąt ten pięknie reprezentuje wszystkie współczynniki dwumianowe.

Każdy wpis w wierszu n na pozycji k jest równy C(n, k). Na przykład w wierszu 4 wartości [1, 4, 6, 4, 1] odpowiadają C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4).

Własności współczynników dwumianowych

Kluczowe własności
  • Symetria: C(n, k) = C(n, n-k). Wybór k elementów jest równoważny z pominięciem n-k elementów.
  • Reguła Pascala: C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Każda wartość jest sumą dwóch wartości nad nią.
  • Suma wiersza: C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$. Suma elementów w n-tym wierszu wynosi $2^n$.
  • Wartości brzegowe: C(n, 0) = C(n, n) = 1. Jest tylko jeden sposób, aby nie wybrać niczego lub wybrać wszystko.
  • Tożsamość kija hokejowego: $\sum_{i=r}^{n} C(i, r) = C(n+1, r+1)$. Suma wzdłuż przekątnej jest równa elementowi poniżej i po prawej stronie.

Zastosowania współczynników dwumianowych w świecie rzeczywistym

Loteria i gry losowe

Szanse w loterii oblicza się za pomocą współczynników dwumianowych. Na przykład w loterii, w której wybierasz 6 liczb z 49, całkowita liczba możliwych kombinacji wynosi C(49, 6) = 13 983 816. Oznacza to, że szanse na wygraną wynoszą około 1 do 14 milionów.

Tworzenie komitetów

Podczas tworzenia komitetów współczynniki dwumianowe mówią, ile różnych grup jest możliwych. Jeśli musisz wybrać 5-osobowy komitet z 20 kandydatów, istnieje C(20, 5) = 15 504 możliwych komitetów.

Gry karciane

W pokerze liczba możliwych 5-kartowych układów z talii 52 kart wynosi C(52, 5) = 2 598 960. Prawdopodobieństwa konkretnych układów (takich jak kolor czy fult) wykorzystują współczynniki dwumianowe.

Statystyka i prawdopodobieństwo

Rozkład dwumianowy, który opisuje prawdopodobieństwo k sukcesów w n niezależnych próbach, wykorzystuje współczynniki dwumianowe: $P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Informatyka

Współczynniki dwumianowe pojawiają się w analizie algorytmów, strukturach danych (kopce dwumianowe), teorii kodowania i problemach optymalizacji kombinatorycznej.

Jak korzystać z tego kalkulatora

  1. Wpisz wartość n: Wprowadź całkowitą liczbę elementów (n) w pierwszym polu. Reprezentuje to wielkość zbioru, z którego wybierasz.
  2. Wpisz wartość k: Wprowadź liczbę elementów do wybrania (k) w drugim polu. Musi ona mieścić się w przedziale od 0 do n.
  3. Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk Oblicz, aby obliczyć C(n, k). Narzędzie wyświetli wynik wraz ze szczegółowymi obliczeniami krok po kroku.
  4. Przejrzyj wyniki: Zapoznaj się z rozwiązaniem krok po kroku pokazującym zastosowanie wzoru, wizualizacją trójkąta Pascala z zaznaczoną Twoją wartością, przykładami ze świata rzeczywistego i powiązanymi wartościami współczynnika dwumianowego.

Często zadawane pytania (FAQ)

Co to jest współczynnik dwumianowy?

Współczynnik dwumianowy C(n, k), zapisywany również jako "n po k" lub $\binom{n}{k}$, reprezentuje liczbę sposobów wyboru k elementów z n elementów bez względu na kolejność. Jest to fundamentalne pojęcie w kombinatoryce, rachunku prawdopodobieństwa i algebrze.

Jak obliczyć C(n, k)?

Najbardziej bezpośrednim sposobem obliczenia C(n, k) jest użycie wzoru: C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!). Na przykład C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 10. W przypadku dużych liczb wzór multiplikatywny ułatwia obliczenia.

Jaki jest związek między współczynnikami dwumianowymi a trójkątem Pascala?

Każda liczba w trójkącie Pascala jest współczynnikiem dwumianowym. n-ty wiersz (zaczynając od 0) zawiera współczynniki C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n). Sprawia to, że trójkąt Pascala jest świetnym narzędziem wizualnym do przeglądania tych liczb kombinatorycznych.

Jakie są zastosowania współczynników dwumianowych w świecie rzeczywistym?

Służą one do obliczania szans w loteriach, tworzenia zespołów, rozkładów prawdopodobieństwa w statystyce, genetyce, a nawet w zliczaniu ścieżek w informatyce.

Do czego służy własność symetrii?

Symetria C(n, k) = C(n, n-k) pomaga uprościć obliczenia. Na przykład obliczenie C(100, 98) jest tym samym, co obliczenie C(100, 2), co jest znacznie szybsze do wykonania (100 × 99 / 2 × 1).

Referencje

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator współczynnika dwumianu" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-współczynnika-dwumianu/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 13 stycznia 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator rozkładu dwumianowego
Kalkulator kombinacji
Kalkulator silni
Kalkulator permutacji

Zaawansowane działania matematyczne:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Przelicznik stóp na metryLosowy generator przedmiotówGenerator losowych słów angielskichwyszukiwanie-adresu-macSortować alfabetycznieGenerator kodu Morse\Losowy Generator GrupKalkulator inflacji w USAKalkulator znaku księżycowegoKalkulator Obwodu ElipsyKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyKalkulator podwójnych całekRozdzielacz obrazówKalkulator pochodnych cząstkowychPrzelicznik cm na stopy i caleKonwerter ułamkowy czasuKalkulator Znaku WenusKalkulator CałekKalkulator dziedziny i zbioru wartościKalkulator testu chi-kwadratCyfrowy Kalkulator DuszyKalkulator numerów aniołaKonwerter HexadecymalnyLosowanie listyKonwerter liczb rzymskichNarzędzie do liczenia wierszyKonwerter Czasu na DziesiętnyKalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyKalkulator rozkładu na ułamki prosteKalkulator HexKonwerter Radianów na StopnieKalkulator PrzeciwprostokątnejSortuj LiczbyKalkulator Godzin PracyKalkulator Testu tKalkulator liczby ścieżek życiaKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Konwerter HEX na CMYKKalkulator wartości własnych i wektorów własnychKalkulator Liczby ImieniaLosowy generator zwierzątGenerator LabiryntówKalkulator Błędu ProcentowegoKalkulator GranicKalkulator średniej ocen GPAKalkulator Numerów MistrzowskichKalkulator odwrotnej transformaty LaplaceKalkulator kompatybilności znaków KsiężycaLosowy Generator Drabinki TurniejowejJaki jest mój szczęśliwy numer?Narzędzie do Szyfru CezaraGenerator Losowych UrodzinKalkulator Długości ŁukuKalkulator Logarytmu o Podstawie 10Kalkulator średniej arytmetycznejKalkulator ModuloKalkulator ilości cyfrAnalizator adresów MACKalkulator liczb zespolonychKonwerter binarny na szesnastkowyKonwerter adresu IP na binarneKalkulator transformaty Laplace\Kalkulator IRRKalkulator Współczynnika DyskontowegoKonwerter stóp i cali na centymetry📅 Kalkulator DatyLista Lat PrzestępnychKalkulator Czasu TrwaniaKalkulator Numeru PrzeznaczeniaKalkulator wiekuLosowy Generator KolorówKalkulator Wspolczynnika KorelacjiKonwerter dziesiętny na szesnastkowyKonwerter FPSLooper MP3Rozdzielacz AudioZaawansowany Analizator Kompatybilności Zodiaku 💞Generator Liczb LosowychKalkulator ANOVAKalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator pierwiastka kwadratowegoUsuń spacjeDekoder Alfabetu Morse\Kalkulator StatystycznyKalkulator BitowyGenerator losowych ciągówGenerator Ozdobnego TekstuLosowy Selektor NazwGenerator losowej godzinyKalkulator twierdzenia PitagorasaKalkulator współczynnika zmiennościKonwerter dziesiętny na binarnyKalkulator bonusówKonwerter szesnastkowy na binarnyGenerator losowych krajówEkstraktor Obrazów z WideoGenerator kodów kreskowychKalkulator prawdopodobieństwa kościKalkulator rozmieszczenia roślinKalkulator konwersji skali modeluKalkulator podłoża akwariowegoKalkulator objętości i obsady akwariumZakręć kołemRzut kostkąRzut monetąGenerator Kamień Papier NożyceMagiczna Kula 8Generator losowych kart do gryGenerator losowego adresu IPGenerator losowych datGenerator losowych współrzędnychGenerator losowego User-AgentGenerator losowych kart kredytowychGenerator losowego JSONGenerator losowej palety kolorówGenerator Prawda czy WyzwanieGenerator losowych emojiGenerator Losowych PosiłkówGenerator Rozkładu GaussaKalkulator wartości pipsaKalkulator strategii MartingaleKalkulator Kryterium Kelly\Kalkulator Stop Loss i Take ProfitKalkulator rozszerzenia Fibonacciegokalkulator-punktu-zwrotnegoKalkulator dźwigni kryptoKonwerter Satoshi na DolaryKalkulator Arbitrażu KryptowalutKalkulator nietrwałej stratyKalkulator Zysku z OpcjiKalkulator Implikowanej ZmiennościKalkulator Greckich OpcjiKalkulator Wyceny Opcji Blacka-ScholesaKalkulator ryzyka ruinyKalkulator Zysku ze Sprzedaży KrótkiejKalkulator Wezwania do Uzupełnienia DepozytuKalkulator Wielkości PozycjiKalkulator średniej akcjiUsuwacz Niewidocznych ZnakówKonwerter Tekstu na Listę SQLEkstraktor Kolumn TekstowychKalkulator Różnicy ListGenerator Tekstu ZalgoGenerator sztuki ASCIIGenerator Niewidocznego Tekstugenerator-tekstu-do-góry-nogamiGenerator Tekstu ZalgoCzytnik tekstu na mowęKonwerter Czytania BionicznegoSprawdzacz Gęstości Słów KluczowychKalkulator wyniku czytelnościGenerator Lorem IpsumKalkulator Oszczędności Czasu DziennegoUsuwacz Inteligentnych CudzysłowówGenerator tabel MarkdownEscape/Unescape ciągów JSONGenerator Slugów URLKoder / Dekoder Encji HTMLKalkulator punktów przecięcia z osią X i YKalkulator wierzchołka i osi symetriiKalkulator Składania FunkcjiKalkulator funkcji odwrotnejRysowanie Wykresów FunkcjiGrafik układu nierównościRozwiązywacz nierówności wartości bezwzględnejRozwiązywacz NierównościRozwiązywacz Układów Równań LiniowychRozwiązywacz równań z pierwiastkamiRozwiązywacz Równań Wartości BezwzględnejRozwiązywacz Równań LiniowychKalkulator Dzielenia SyntetycznegoKalkulator Dzielenia WielomianówKalkulator Rozszerzania WielomianówKalkulator Faktoryzacji WielomianówKalkulator wyrażeń wymiernychUpraszczacz pierwiastkówUpraszczacz Wyrażeń AlgebraicznychKreator wykresów funkcji trygonometrycznychKalkulator Tożsamości TrygonometrycznychInteraktywny wizualizator okręgu jednostkowegoKonwerter Współrzędnych Kartezjańskich na BiegunoweKonwerter współrzędnych biegunowych na kartezjańskieKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSKonwerter DMS na stopnie dziesiętneKalkulator Prawa CosinusówKalkulator Prawa SinusówRozwiązywacz ogólnego trójkątaKalkulator Trójkąta ProstokątnegoKalkulator Funkcji HiperbolicznychKalkulator kosekansa, sekansa i kotangensaKalkulator atan2Kalkulator arcus tangensaKalkulator arcus kosinusaKalkulator Arcus SinusaKalkulator Tangensa o Wysokiej PrecyzjiKalkulator KosinusaKalkulator sinusaKalkulator Nachylenia i Stopnia 📐Kalkulator Kąta Ukośnego 📐Sprawdzanie kątów prostych (zasada 3-4-5) 📐Kalkulator stóp tablicowych 🪵Kalkulator tarasówKalkulator Ogrodzenia 🏡Kalkulator Ściółki, Gleby i Żwiru 🌱Kalkulator ram ściennychKalkulator Dachowy 🏠Kalkulator nachylenia dachuKalkulator schodówKalkulator tapet 🎨Kalkulator Podłóg 🏠Kalkulator Płytek 🔲Kalkulator Farb 🎨Kalkulator Cegieł i Zaprawy 🧱Kalkulator Betonu 🧱Wyszukiwarka kamienia urodzenia i kwiatu zodiakuKalkulator celtyckiego zodiaku drzewaKalendarz nowiu i pełni księżycaKalkulator Powrotu SaturnaKalendarz retrogradacji MerkuregoKalkulator równowagi modalności astrologicznychKalkulator Równowagi Żywiołów AstrologicznychKalkulator znaku MerkuryKalkulator Znaku MarsaTester siły hasłaKalkulator uprawnień Unix (chmod)Generator zadań CronKalkulator pierwiastka n-tego stopnia - wysoka precyzjaNajlepszy konwerter częstotliwości i długości faliWalidator XMLDostosuj Prędkość WideoDodaj lub Zamień Dźwięk w FilmiePołącz filmyDodaj znak wodny do wideo