Kalkulator Szczęśliwych Liczb

Witaj w kalkulatorze szczęśliwych liczb, interaktywnym narzędziu do odkrywania jednego z najciekawszych pojęć w matematyce rekreacyjnej. Wprowadź dowolną dodatnią liczbę całkowitą i dowiedz się, czy jest to liczba szczęśliwa, śledząc jej podróż przez kwadraty cyfr krok po kroku. Animowana wizualizacja, wykres trajektorii i szczegółowe zestawienie ułatwiają zrozumienie, jak liczby osiągają szczęście — lub wpadają w nieskończony cykl.

Co to jest liczba szczęśliwa?

Liczba szczęśliwa to dodatnia liczba całkowita, która ostatecznie osiąga 1, gdy wielokrotnie zastępujesz ją sumą kwadratów jej cyfr. Jeśli liczba nigdy nie osiąga 1 i zamiast tego wchodzi w nieskończony cykl, nazywana jest liczbą nieszczęśliwą (lub smutną liczbą).

Proces

Gdzie \(d_i\) to poszczególne cyfry liczby \(n\). Na przykład:

• 19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ Szczęśliwa!
• 2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → wchodzi w cykl ✘ Nieszczęśliwa

Cykl nieszczęśliwy

Każda nieszczęśliwa liczba ostatecznie wchodzi w ten sam 8-liczbowy cykl:

Ten niezwykły fakt oznacza, że wystarczy sprawdzić, czy sekwencja kiedykolwiek osiągnie 4, aby stwierdzić, że liczba jest nieszczęśliwa. W systemie dziesiętnym nie istnieje żaden inny cykl dla procesu sumowania kwadratów cyfr.

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź liczbę: Wpisz dowolną dodatnią liczbę całkowitą w pole wejściowe. Wypróbuj szybkie przykłady klasycznych liczb szczęśliwych i nieszczęśliwych.
2. Wybierz tryb: Użyj "Sprawdź pojedynczą liczbę", aby dogłębnie przeanalizować jedną liczbę, lub "Znajdź wszystkie liczby szczęśliwe w zakresie", aby odkryć każdą liczbę szczęśliwą od 1 do N.
3. Analizuj wyniki: Kliknij "Sprawdź liczbę", aby zobaczyć pełną sekwencję, interaktywny wykres trajektorii i podział krok po kroku.
4. Badaj wzorce: Wypróbuj różne liczby, aby odkryć relacje między liczbami szczęśliwymi a wzorcami ich cyfr.

Liczby szczęśliwe poniżej 100

Między 1 a 100 znajduje się dokładnie 20 liczb szczęśliwych:

Ciekawe właściwości liczb szczęśliwych

Inwariancja permutacji cyfr

Jeśli liczba jest szczęśliwa, to każde przestawienie jej cyfr jest również szczęśliwe. Na przykład, skoro 19 jest szczęśliwa, to 91 również jest szczęśliwa. Podobnie 13 i 31 są obie szczęśliwe.

Inwariancja wstawiania zer

Wstawianie lub usuwanie zer nie zmienia tego, czy liczba jest szczęśliwa. Skoro 19 jest szczęśliwa, to 109, 190, 1009, 1090 również są szczęśliwe.

Szczęśliwe liczby pierwsze

Szczęśliwa liczba pierwsza to liczba, która jest jednocześnie szczęśliwa i pierwsza. Pierwsze kilka takich liczb to: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. Szczęśliwe liczby pierwsze przyciągnęły zainteresowanie w teorii liczb, a nawet pojawiały się w kulturze popularnej.

Gęstość liczb szczęśliwych

Gęstość liczb szczęśliwych wśród wszystkich dodatnich liczb całkowitych wynosi około 14,3%. Oznacza to, że mniej więcej 1 na 7 liczb jest szczęśliwa. Co ciekawe, gęstość ta pozostaje dość stała w różnych zakresach.

Liczby szczęśliwe w różnych systemach liczbowych

Koncepcję liczb szczęśliwych można rozszerzyć na inne systemy liczbowe. W systemie o podstawie \(b\), liczba jest szczęśliwa, jeśli iterowana suma kwadratów jej cyfr osiąga 1. Właściwości i struktury cykli różnią się znacznie w zależności od podstawy:

• Podstawa 2: Tylko potęgi 2 są szczęśliwe (1, 2, 4, 8, 16, ...)
• Podstawa 4: 1 jest jedyną liczbą szczęśliwą
• Podstawa 10: Znany zestaw o gęstości około 14,3%

Aspekty obliczeniowe

Dla dowolnej liczby o \(d\) cyfrach, suma kwadratów jej cyfr wynosi co najwyżej \(81d\) (gdy wszystkie cyfry to 9). To oznacza:

• Liczba 1-cyfrowa mapuje się na maksymalnie 81
• Liczba 3-cyfrowa (do 999) mapuje się na maksymalnie 243
• Każda liczba powyżej 999 natychmiast mapuje się na mniejszą liczbę

Gwarantuje to, że sekwencja zawsze ostatecznie wejdzie w cykl lub osiągnie 1, co sprawia, że algorytm zawsze się kończy.

Często zadawane pytania

Co to jest liczba szczęśliwa?

Liczba szczęśliwa to dodatnia liczba całkowita, która ostatecznie osiąga 1, gdy wielokrotnie zastępujesz ją sumą kwadratów jej cyfr. Na przykład 19 jest szczęśliwa, ponieważ: 1² + 9² = 82, następnie 8² + 2² = 68, następnie 6² + 8² = 100, a potem 1² + 0² + 0² = 1. Liczby, które nigdy nie osiągają 1, nazywane są nieszczęśliwymi lub smutnymi.

Co dzieje się z liczbami nieszczęśliwymi?

Liczby nieszczęśliwe (smutne) nigdy nie osiągają 1. Zamiast tego ostatecznie wchodzą w nieskończony cykl: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Każda liczba, która nie jest szczęśliwa, ostatecznie wejdzie w ten dokładnie 8-liczbowy cykl.

Jakie są wszystkie liczby szczęśliwe poniżej 100?

Liczby szczęśliwe poniżej 100 to: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97. To 20 liczb szczęśliwych na 100, czyli dokładnie 20%.

Czy istnieje wzór na liczby szczęśliwe?

Liczby szczęśliwe mają interesujące właściwości: każda permutacja cyfr liczby szczęśliwej jest również szczęśliwa (np. 19 i 91 są obie szczęśliwe). Dodatkowo, wstawianie lub usuwanie zer nie zmienia statusu (np. 19, 109, 190 są wszystkie szczęśliwe). Gęstość liczb szczęśliwych wynosi około 14,3% wśród wszystkich dodatnich liczb całkowitych.

Kto odkrył liczby szczęśliwe?

Liczby szczęśliwe zostały po raz pierwszy zbadane przez Rega Allenby'ego w 1966 roku. Koncepcja zyskała popularność dzięki matematyce rekreacyjnej. Termin "szczęśliwa liczba" przypisuje się młodej uczennicy, która przedstawiła ten pomysł matematykom w Cambridge.

Jak liczby szczęśliwe są wykorzystywane w matematyce?

Liczby szczęśliwe pojawiają się w teorii liczb, matematyce rekreacyjnej i są używane jako ćwiczenia programistyczne. Łączą się z pojęciami takimi jak punkty stałe, cykle w funkcjach iterowanych i sekwencje oparte na cyfrach. Szczęśliwe liczby pierwsze (liczby, które są jednocześnie szczęśliwe i pierwsze) cieszą się szczególnym zainteresowaniem w badaniach matematycznych.

Dodatkowe zasoby

• Liczba szczęśliwa - Wikipedia
• OEIS A007770 - Liczby szczęśliwe