Kalkulator rozkładu prawdopodobieństwa

Witaj w kalkulatorze rozkładu prawdopodobieństwa, kompleksowym narzędziu statystycznym do obliczania prawdopodobieństw, dystrybuant (CDF) oraz kwantyli (odwrotnych dystrybuant) dla różnych rozkładów prawdopodobieństwa. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się statystyki, badaczem analizującym dane, czy profesjonalistą pracującym z modelami statystycznymi, ten kalkulator zapewnia szczegółowe rozwiązania krok po kroku oraz interaktywne wizualizacje, które pomogą Ci zrozumieć rozkłady prawdopodobieństwa.

Obsługiwane rozkłady prawdopodobieństwa

Ten kalkulator obsługuje siedem powszechnie stosowanych rozkładów prawdopodobieństwa, z których każdy jest odpowiedni dla różnych typów zjawisk losowych:

Zrozumienie funkcji PDF, CDF i kwantylowej

Funkcja gęstości/masy prawdopodobieństwa (PDF/PMF)

PDF (dla rozkładów ciągłych) lub PMF (dla rozkładów dyskretnych) podaje względne prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową określonej wartości. W przypadku rozkładów ciągłych sama wartość PDF nie jest prawdopodobieństwem, lecz gęstością — prawdopodobieństwa znajduje się poprzez całkowanie PDF w danym przedziale.

Dystrybuanta (CDF)

CDF, oznaczana jako F(x), podaje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X jest mniejsza lub równa wartości x. Zapisuje się to jako P(X ≤ x). CDF zawsze rośnie od 0 do 1 wraz ze wzrostem x.

Funkcja kwantylowa (Odwrotna dystrybuanta)

Funkcja kwantylowa (zwana również funkcją punktu procentowego lub odwrotną dystrybuantą) znajduje wartość x, dla której P(X ≤ x) = p. Odpowiada na pytanie: „Jaka wartość jest przekraczana tylko przez (1-p)×100% rozkładu?”. Jest to niezbędne do znajdowania wartości krytycznych w testowaniu hipotez.

Wzory rozkładów

Rozkład normalny

Rozkład normalny (Gaussa) jest symetryczny i ma kształt dzwonu, charakteryzuje się średnią μ (centrum) i odchyleniem standardowym σ (rozproszenie).

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• Kwantyl: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

Rozkład dwumianowy

Modeluje liczbę sukcesów w n niezależnych próbach, z których każda ma prawdopodobieństwo sukcesu p.

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

Rozkład Poissona

Modeluje liczbę zdarzeń w ustalonym przedziale, gdy zdarzenia występują ze stałą średnią intensywnością λ.

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

Rozkład wykładniczy

Modeluje czas między zdarzeniami w procesie Poissona o intensywności λ.

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) dla x ≥ 0
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• Kwantyl: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

Rozkład chi-kwadrat

Pojawia się w statystyce jako suma kwadratów standardowych zmiennych normalnych. Używany w testowaniu hipotez i przedziałach ufności dla wariancji.

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) dla x > 0

Rozkład t-Studenta

Podobny do normalnego, ale z „grubszymi” ogonami. Używany do wnioskowania o średnich populacji, gdy wielkość próbki jest mała lub wariancja populacji jest nieznana.

• PDF: \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wybierz rozkład: Kliknij kartę rozkładu pasującą do Twoich danych lub problemu. Każda karta pokazuje typ rozkładu (ciągły lub dyskretny).
2. Wybierz typ obliczeń: Wybierz PDF/PMF dla prawdopodobieństwa w punkcie, CDF dla prawdopodobieństwa skumulowanego lub Kwantyl, aby znaleźć wartość dla danego prawdopodobieństwa.
3. Wprowadź parametry: Wprowadź parametry rozkładu. Formularz dynamicznie wyświetla tylko parametry istotne dla wybranego rozkładu.
4. Wprowadź wartość lub prawdopodobieństwo: Dla PDF/CDF wprowadź wartość x (lub k dla dyskretnych). Dla Kwantyla wprowadź prawdopodobieństwo z zakresu od 0 do 1.
5. Sprawdź wyniki: Zapoznaj się z obliczonym wynikiem, matematycznym wyprowadzeniem krok po kroku oraz interaktywną wizualizacją rozkładu.

Często zadawane pytania

Co to jest rozkład prawdopodobieństwa?

Rozkład prawdopodobieństwa to funkcja matematyczna opisująca prawdopodobieństwo wystąpienia różnych możliwych wyników zmiennej losowej. Może być dyskretny (jak dwumianowy lub Poissona) dla policzalnych wyników, lub ciągły (jak normalny lub wykładniczy) dla wyników mogących przyjąć dowolną wartość w danym zakresie.

Jaka jest różnica między PDF a CDF?

PDF (funkcja gęstości prawdopodobieństwa) lub PMF (funkcja masy prawdopodobieństwa) podaje gęstość prawdopodobieństwa w określonym punkcie. Dla rozkładów dyskretnych PMF podaje dokładne prawdopodobieństwo P(X=k). CDF (dystrybuanta) podaje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa jest mniejsza lub równa danej wartości: P(X≤x). CDF jest sumą skumulowaną/całką z PDF/PMF.

Kiedy należy stosować rozkład normalny?

Rozkład normalny jest odpowiedni dla danych ciągłych, które są symetrycznie rozmieszczone wokół średniej. Jest powszechnie stosowany do zjawisk takich jak wzrost, wyniki testów, błędy pomiarowe i wiele zmiennych biologicznych. Centralne Twierdzenie Graniczne mówi, że średnie z prób dążą do rozkładu normalnego niezależnie od rozkładu populacji.

Co to jest funkcja kwantylowa?

Funkcja kwantylowa (zwana również odwrotną dystrybuantą) znajduje wartość x taką, że P(X≤x) = p dla danego prawdopodobieństwa p. Na przykład 95. percentyl (p=0,95) rozkładu to wartość, poniżej której znajduje się 95% obserwacji.

Jak wybrać odpowiedni rozkład?

Wybieraj na podstawie charakterystyki danych: normalny dla symetrycznych danych ciągłych; dwumianowy dla liczenia sukcesów w próbach; Poissona dla rzadkich zdarzeń w przedziale; wykładniczy dla czasu między zdarzeniami; jednostajny dla równego prawdopodobieństwa; chi-kwadrat do testowania wariancji; t-Studenta dla małych próbek z nieznaną wariancją.

Dodatkowe zasoby

• Rozkład prawdopodobieństwa - Wikipedia
• Rozkład normalny - Wikipedia
• Statystyka i prawdopodobieństwo - Khan Academy