偏微分電卓

多変数関数の偏微分を、詳細なステップバイステップの解説、インタラクティブな例、接平面の幾何学的な視覚化とともに計算します。

偏微分電卓

計算例を試す

x**2*y + y**3 (x で微分) sin(x*y) (混合微分) e**(x+y) (第2次) x**2+y**2+z**2 (x で微分) ln(x**2+y**2) (混合微分) x*y*z (3階偏微分)

f 関数 f(x, y, ...)

累乗には ** を使用し、関数には sin, cos, exp, log, sqrt を使用します

d 微分する変数

x (第1次) | x:2 (第2次) | x,y (混合偏微分)

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偏微分電卓

多変数関数の偏微分を計算し、詳細なステップバイステップの解説を提供する偏微分電卓へようこそ。多変数微分の基礎を学んでいる学生、最適化問題を解いているエンジニア、変化率の方程式を扱っている科学者など、あらゆるユーザーに正確な結果と完全な数学的説明を提供します。

偏微分とは何ですか？

偏微分とは、他のすべての変数を一定に保ったまま、入力変数のうちの1つが変化したときに多変数関数がどのように変化するかを測定するものです。単一変数関数に適用される通常の微分とは異なり、偏微分は多変数微積分学の基礎であり、科学、工学、経済学、機械学習のいたるところに登場します。

数学的定義

2変数の関数 $ f(x, y) $ について、$ x $ に関する偏微分は次のように定義されます：

偏微分の定義

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$

$ \frac{\partial f}{\partial x} $ を計算するときは、$ y $ を定数として扱い、$ x $ についてのみ微分します。同様に、$ \frac{\partial f}{\partial y} $ では $ x $ を定数として扱います。

主要な概念

1 第1次偏微分

他の変数を定数に保ちながら、単一の変数について1回微分します。$ f(x,y) $ の場合、これらは $ f_x $ と $ f_y $ です。

2 第2次偏微分

2回微分します。$ f_{xx} $, $ f_{yy} $（純粋）または $ f_{xy} $, $ f_{yx} $（混合偏微分）があります。

3 混合偏微分

クレローの定理（またはシュワルツの定理）により、第2次偏導関数が連続であれば $ f_{xy} = f_{yx} $ となり、微分の順序は問いません。

4 勾配ベクトル

勾配 $ \nabla f = (f_x, f_y, f_z) $ は最も急な増加の方向を指します。その大きさは最大変化率を表します。

この電卓の使い方

関数を入力する： 標準的な記法を使用して多変数関数を入力します。例：x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y。
微分変数を指定する： 微分する変数を入力します：
- x — x に関する第1次微分
- x:2 — x に関する第2次微分
- x,y — 混合偏微分（まず x、次に y）
- x:2,y:1 — x に関して2回、y に関して1回微分
計算をクリックする： 電卓が偏微分を計算し、どの微分規則が適用されたかを示す完全なステップバイステップの解説を表示します。

対応している関数と構文

関数の種類	構文の例	備考
累乗	`x2`, `x^3`, `x0.5`	指数には ** または ^ を使用
三角関数	`sin(x)`, `cos(y)`, `tan(z)`	sec, csc, cot にも対応
逆三角関数	`asin(x)`, `atan(y)`	acos, acot, asec, acsc にも対応
指数関数	`exp(x)`, `e**x`	自然指数関数
対数関数	`log(x)`, `ln(x)`	自然対数（底 e）
平方根	`sqrt(x)`, `x**0.5`	同等の形式
双曲線関数	`sinh(x)`, `cosh(y)`, `tanh(z)`	双曲線関数
掛け算	`x*y`, `xy`, `2xy`	省略された掛け算に対応

適用される微分規則

この電卓は、各ステップで使用される微分規則を特定して表示します：

べき関数の微分： $ \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} $
和の微分： $ \frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} $
積の微分： $ \frac{\partial}{\partial x}(fg) = f\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial f}{\partial x} $
商の微分： $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial g}{\partial x}}{g^2} $
合成関数の微分 (連鎖律)： $ \frac{\partial}{\partial x}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot \frac{\partial g}{\partial x} $
定数倍の微分： $ \frac{\partial}{\partial x}(cf) = c\frac{\partial f}{\partial x} $

偏微分の応用

勾配と最適化

偏微分は勾配ベクトルを構成し、多変数関数の極大値、極小値、鞍点を見つけるために不可欠です。すべての偏微分をゼロに等しくすることで、臨界点を特定できます。

物理学と工学

偏微分は物理量の変化を表します。温度勾配、電位、流体力学、波の方程式などはすべて偏微分に依存しています。

機械学習

勾配降下法アルゴリズムは、損失関数を最小化するために偏微分を使用します。ニューラルネットワークの各重みは、その重みに関する損失の偏微分を使用して更新されます。

経済学

限界分析では、他の入力を固定したまま、1つの入力（労働、資本）に対して出力がどのように変化するかを測定するために偏微分が使用されます。

よくある質問

偏微分とは何ですか？

偏微分とは、他のすべての変数を一定に保ったまま、1つの変数が変化したときに多変数関数がどのように変化するかを測定するものです。関数 f(x,y) の場合、x に関する偏微分（df/dx と表記）は、y を定数として扱い、x についてのみ微分します。

第2次偏微分はどのように計算しますか？

第2次偏微分を計算するには、2回微分します。同じ変数で2回微分する（d2f/dx2 など）ことも、異なる変数で微分する（d2f/dxdy などの混合偏微分）こともできます。x に関する第2次微分の場合は 'x:2'、混合偏微分の場合は 'x,y' のような形式で入力してください。

偏微分と通常の微分の違いは何ですか？

通常の微分は単一変数の関数に適用され、その1つの変数に対する変化率を測定します。偏微分は多変数関数に適用され、他のすべての変数を定数として扱いながら、1つの変数に対する変化率を測定します。

混合偏微分とは何ですか？

混合偏微分とは、異なる変数で順次微分することを含みます。例えば、d2f/dxdy は、まず f を y で微分し、次にその結果を x で微分することを意味します。クレローの定理により、ほとんどの関数で d2f/dxdy = d2f/dydx が成り立ちます。

電卓に関数を入力するにはどうすればよいですか？

標準的な数学記法を使用してください：累乗には x**2 または x^2、三角関数には sin(x), cos(x), tan(x)、指数関数には exp(x) または e**x、自然対数には log(x) または ln(x)、平方根には sqrt(x)。掛け算は省略（xy）または明記（x*y）できます。