Calcolatore di Determinante

Calcolatore di Determinante

Benvenuto alla Calcolatrice dei Determinanti, uno strumento di livello professionale per il calcolo dei determinanti delle matrici con soluzioni complete passo dopo passo. Che tu stia studiando l'algebra lineare, risolvendo sistemi di equazioni o analizzando le proprietà delle matrici, questa calcolatrice fornisce scomposizioni dettagliate dell'espansione dei cofattori e informazioni sulle matrici.

Che cos'è un Determinante?

Il determinante è un valore scalare calcolato dagli elementi di una matrice quadrata. Codifica informazioni fondamentali sulla matrice e sulla trasformazione lineare che rappresenta. Il determinante ha un significato geometrico e algebrico profondo in matematica.

Formula del Determinante 2x2

Per una matrice 2x2, il determinante viene calcolato direttamente:

Formula del Determinante 3x3

Per una matrice 3x3, usa l'espansione dei cofattori lungo qualsiasi riga o colonna:

Dove ogni cofattore $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ e $M_{ij}$ è il minore (determinante della sottomatrice con la riga i e la colonna j rimosse).

Come Usare Questo Calcolatore

1. Seleziona dimensione matrice: Scegli da 2x2 a 6x6 usando i pulsanti di dimensione, oppure inserisci qualsiasi matrice quadrata nell'area di testo.
2. Inserisci valori: Compila la griglia interattiva o digita i valori direttamente. Usa spazi o virgole per separare gli elementi, nuove righe per le righe.
3. Calcola: Fai clic sul pulsante Calcola per calcolare il determinante.
4. Rivedi soluzione: Esamina l'espansione dei cofattori passo dopo passo mostrando tutti i calcoli intermedi.
5. Controlla proprietà: Rivedi il pannello delle proprietà della matrice per comprendere l'invertibilità e altre caratteristiche.

Applicazioni dei Determinanti

Comprendere le Proprietà delle Matrici

Matrici Singolari vs Invertibili

• Invertibile (det ≠ 0): La matrice ha un inverso unico, le righe/colonne sono linearmente indipendenti e i sistemi Ax = b hanno soluzioni uniche.
• Singolare (det = 0): La matrice non ha inverso, le righe/colonne sono linearmente dipendenti e i sistemi potrebbero non avere soluzione o avere infinite.

Relazione tra Traccia e Determinante

La traccia (somma degli elementi diagonali) e il determinante sono correlati attraverso gli autovalori. Per una matrice con autovalori λ₁, λ₂, ..., λₙ:

• Traccia = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
• Determinante = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

Domande Frequenti

Che cos'è il determinante di una matrice?

Il determinante è un valore scalare calcolato da una matrice quadrata che codifica proprietà importanti. Indica se una matrice è invertibile (determinante non nullo), rappresenta il fattore di scala delle trasformazioni lineari e uguaglia il volume con segno del parallelepipedo formato dai vettori di riga/colonna.

Come si calcola un determinante 2x2?

Per una matrice 2x2 [[a,b],[c,d]], il determinante si calcola come det = ad - bc. Moltiplicare gli elementi della diagonale principale (a×d), sottrarre il prodotto degli elementi dell'antidiagonale (b×c).

Come si calcola un determinante 3x3?

Per una matrice 3x3, usa l'espansione dei cofattori lungo qualsiasi riga o colonna. Espandi lungo la prima riga: det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃, dove ogni cofattore Cᵢⱼ è (-1)^(i+j) moltiplicato per il determinante della matrice minore 2x2.

Cosa significa un determinante zero?

Un determinante zero indica che la matrice è singolare (non invertibile). Ciò significa che le righe/colonne sono linearmente dipendenti, la matrice mappa un vettore non nullo a zero, e il sistema di equazioni Ax=b non ha soluzione o ha infinite soluzioni.

Puoi calcolare il determinante di una matrice non quadrata?

No, i determinanti sono definiti solo per matrici quadrate (stesso numero di righe e colonne). Per matrici non quadrate, è possibile calcolare concetti correlati come pseudo-determinanti o valori singolari, ma il determinante classico non esiste.

Che cos'è l'espansione dei cofattori?

L'espansione dei cofattori (espansione di Laplace) calcola un determinante espandendo lungo qualsiasi riga o colonna. Per ogni elemento aᵢⱼ, moltiplicalo per il suo cofattore Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ, dove Mᵢⱼ è il minore (determinante della sottomatrice con la riga i e la colonna j rimosse). Somma tutti i prodotti per ottenere il determinante.

Risorse Aggiuntive

• Determinante - Wikipedia
• Determinanti - Khan Academy

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