正弦定理計算機
使用正弦定理來計算三角形中未知的邊長或角度。支援 ASA(角-邊-角)、AAS(角-角-邊)以及 SSA(邊-邊-角)三種情況,並可自動判斷 SSA 是否為不唯一情況(可能有兩個解)。提供逐步解說與詳細公式推導。
正弦定理計算機
歡迎使用 正弦定理計算機。此工具利用正弦定理,協助你在已知部分邊與角的情況下,求出三角形其餘未知的邊長與角度。支援 ASA、AAS 與 SSA 等多種條件組合,並能自動處理 SSA 可能出現的兩個解。
什麼是正弦定理?
正弦定理是三角學中常用的重要定理,描述三角形三邊與其對角正弦值之間的關係:
$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$
其中 $a$、$b$、$c$ 分別為對應角 $A$、$B$、$C$ 的對邊長度。透過正弦定理,只要已知足夠的邊與角資訊,即可求出其餘未知量。
本工具的主要特色
- 多種題型支援:可解 ASA、AAS 以及 SSA 三種解三角形題型。
- SSA 不唯一檢查:自動判斷 SSA 條件下是無解、唯一解或兩個解。
- 角度單位彈性:可選擇使用度(degrees)或弧度(radians)。
- 逐步計算過程:將每一步計算與公式清楚顯示,方便學習與檢查。
- 三角形圖形化顯示:根據結果在畫布上繪製三角形,幫助你視覺化理解。
- 嚴謹的輸入檢查:對不合理的邊長與角度給出明確錯誤訊息。
- 適合作為教學輔助:非常適合在學習三角函數與解三角形時使用。
已知條件類型說明
ASA(角-邊-角)
已知兩個角以及夾在其間的一條邊時,三角形唯一確定。可先利用內角和求出第三個角,再利用正弦定理求出其餘兩邊。
- 已知:角 $A$、角 $C$ 與夾邊 $b$。
- 求:角 $B$ 與邊 $a$、$c$。
- 解的個數:1 個。
AAS(角-角-邊)
已知兩個角與任一邊(不一定是夾邊),同樣可以唯一決定一個三角形。
- 已知:角 $A$、角 $B$ 與邊 $a$。
- 求:角 $C$ 與邊 $b$、$c$。
- 解的個數:1 個。
SSA(邊-邊-角)— 不唯一情況
當已知兩邊以及一個對其中一邊的角時(SSA),可能出現下列情況:
- 無解:無法構成任何三角形。
- 唯一解:只能構成一個三角形。
- 兩個解:可構成兩個不同的三角形,這便是 SSA 的不唯一情況。
已知:邊 $a$、邊 $b$ 與角 $A$。
本工具會自動判斷屬於上述哪一種情況,並列出所有可能的解。
如何使用正弦定理計算機
- 選擇題型:在下拉選單中選擇 ASA、AAS 或 SSA。
- 選擇角度單位:選擇使用「度」或「弧度」。
- 輸入數值:
- ASA:輸入 1 = ∠A,輸入 2 = 邊 b,輸入 3 = ∠C。
- AAS:輸入 1 = ∠A,輸入 2 = ∠B,輸入 3 = 邊 a。
- SSA:輸入 1 = 邊 a,輸入 2 = 邊 b,輸入 3 = ∠A。
- 按下「計算」按鈕:即可看到計算結果、步驟說明與圖形。
正弦定理的應用
正弦定理在許多領域中都相當實用:
- 導航與定位:透過三角測量求出位置與距離。
- 測量與地理資訊:計算難以直接測量的距離或高度。
- 工程設計:結構分析、桁架與斜梁等相關計算。
- 物理學:力的分解與合成、向量分析。
- 電腦圖學:在 3D 建模與繪圖時進行幾何運算。
數學推導背景
正弦定理可以由三角形面積公式推導而來。對任意三角形,其面積 $K$ 可寫成:
$$K = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$$
將這些等式互相相等並化簡,便可得到正弦定理:
$$\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)}$$
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由 miniwebtool 團隊撰寫維護。最後更新:2025-11-17
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