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方向導數計算機
歡迎使用方向導數計算機，這是一個強大的多變數微積分工具，可計算函數在任何指定方向上的變化率。本計算機提供全面的分步解決方案、梯度向量計算、單位向量正規化以及互動式 3D 視覺化，幫助您在課程學習、研究或專業應用中掌握方向導數。
什麼是方向導數？
方向導數測量當您朝特定方向移動時，多變數函數在特定點處變化的速度。與偏導數（僅測量沿坐標軸的變化）不同，方向導數讓您可以分析函數在您選擇的任何方向上的行為。
梯度向量
梯度 $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 指向最陡上升方向。其量值等於最大變化率。
單位方向向量
單位向量 $\mathbf{u}$ 的量值為 1。我們正規化方向向量，以標準化單位距離內的變化率測量。
點積
方向導數等於梯度與單位向量的點積：$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$。這會將梯度投影到指定方向上。
方向導數公式
其中：
- $D_{\mathbf{u}}f$ = 在 $\mathbf{u}$ 方向上的方向導數
- $\nabla f$ = 梯度向量 $\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
- $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ = 指定方向上的單位向量
- $(x_0, y_0)$ = 評估導數的點
如何使用此計算機
- 輸入您的函數： 使用標準數學符號鍵入您的函數 $f(x, y)$。使用 ** 表示指數（例如，x**2 代表 $x^2$）。
- 指定變數： 輸入由逗號分隔的變數名稱（默認：x, y）。
- 輸入點： 提供您要計算導數的坐標 $(x_0, y_0)$，用逗號分隔。
- 輸入方向向量： 輸入方向向量分量 $(a, b)$。計算機將自動將其正規化為單位向量。
- 計算： 點擊按鈕查看帶有完整分步解決方案和 3D 視覺化的方向導數。
函數輸入語法
| 運算 | 語法 | 範例 |
|---|---|---|
| 指數 | ** | x**2 代表 $x^2$ |
| 乘法 | * 或 隱式 | 2*x 或 2x |
| 三角函數 | sin, cos, tan | sin(x*y) |
| 指數函數 | e** 或 exp() | e**(x*y) |
| 自然對數 | ln() 或 log() | ln(x + y) |
| 平方根 | sqrt() | sqrt(x**2 + y**2) |
理解方向導數
幾何解釋
想像您站在由 $z = f(x, y)$ 定義的曲面上。方向導數告訴您當您朝特定方向行走時，曲面上升或下降的陡度。梯度向量指向最陡峭的攀爬方向（就像逆向遵循滑雪坡上的下墜線）。
關鍵性質
- 最大值： 當 $\mathbf{u}$ 與 $\nabla f$ 方向相同時，方向導數最大。最大值為 $\|\nabla f\|$。
- 最小值： 當 $\mathbf{u}$ 與 $\nabla f$ 方向相反時，方向導數最小（最負）。最小值為 $-\|\nabla f\|$。
- 零值： 當 $\mathbf{u}$ 與 $\nabla f$ 垂直時，方向導數為零，這意味著您正沿著等值線移動。
- 符號解釋： 正值表示函數在該方向增加；負值表示減少。
單位向量正規化
給定方向向量 $\mathbf{v} = (a, b)$，對應的單位向量為：
方向導數的應用
- 最佳化： 為基於梯度的優化算法尋找最陡上升/下降方向
- 物理學： 分析熱流、電位梯度和流體動力學
- 機器學習： 梯度下降算法使用方向導數來最小化損失函數
- 經濟學： 多變數生產和效用函數中的邊際分析
- 地理學： 計算地形表面的坡度和坡向
- 工程學： 應力分析和結構優化
常見問題解答
什麼是方向導數？
方向導數測量多變數函數在特定方向上的變化率。對於函數 $f(x,y)$ 在點 $(x_0,y_0)$，在單位向量 $\mathbf{u}$ 方向上的方向導數等於梯度與單位向量的點積：$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$。它告訴你當你從該點向指定方向移動時，函數增加或減少的速度有多快。
如何計算方向導數？
計算方向導數的步驟：(1) 通過對每個變數求偏導數來計算梯度 $\nabla f$，(2) 在給定點評估梯度，(3) 正規化方向向量以獲得單位向量 $\mathbf{u}$，(4) 計算梯度與單位向量的點積。公式為 $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$。
什麼是函數的梯度？
純量函數 $f(x,y)$ 的梯度是一個包含所有偏導數的向量：$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$。它指向函數最大增加率的方向，其大小等於該點的最大方向導數。
為什麼方向導數需要單位向量？
我們使用單位向量（量值為 1）來標準化變化率的測量。如果沒有正規化，方向導數將取決於向量的長度，而不僅僅是它的方向。單位向量確保我們測量的是在該方向上每移動單位距離的變化率。
正或負的方向導數代表什麼意思？
正的方向導數意味著當你從該點向該方向移動時，函數增加。負值意味著函數減少。方向導數為零表示函數在該方向上既不增加也不減少（切線方向指向等值線）。
在哪個方向上方向導數最大？
方向導數在梯度向量 $\nabla f$ 的方向上最大。最大值等於梯度的量值 $\|\nabla f\|$。相反，最小方向導數發生在相反方向 $(-\nabla f)$，值為 $-\|\nabla f\|$。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
"方向導數計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/方向導數計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月27日
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