马尔可夫链稳态分布计算器

欢迎使用马尔可夫链稳态分布计算器，这是一个功能强大的数学工具，用于计算任何有限马尔可夫链的长期平稳分布。输入您的转移矩阵，即可立即查看稳态概率、交互式状态转移图、收敛可视化以及详细的逐步解决方案。非常适合研究随机过程的学生、研究人员和专业人士。

什么是稳态分布？

马尔可夫链的稳态分布（也称为平稳分布）是一个概率向量 \(\pi\)，满足：

这意味着如果系统以分布 \(\pi\) 开始，在经过任意次数的转移后仍保持在 \(\pi\)。直观地说，\(\pi_i\) 代表了系统在状态 \(i\) 中花费时间的长期比例。

核心概念

如何求解稳态

稳态向量 \(\pi\) 可以通过求解从 \(\pi P = \pi\) 推导出的线性方程组来找到：

1. 重写方程： \(\pi P = \pi\) 变为 \(\pi(P - I) = 0\)，或者等效地写为 \((P^T - I)\pi^T = 0\)。
2. 添加归一化条件： 用 \(\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_n = 1\) 替换其中一个冗余方程。
3. 求解方程组： 使用高斯消元法或矩阵法找到 \(\pi\)。

对于遍历链，无论起始分布如何，重复相乘都会收敛到唯一的稳态。

如何使用此计算器

1. 输入转移矩阵： 输入您的矩阵，每行占一行。数值可用逗号或空格分隔。每行的总和必须为 1。
2. 添加状态标签（可选）： 为您的状态提供描述性名称（例如：晴天, 雨天），用逗号分隔。
3. 设置小数精度： 选择结果的小数位数（2-15 位）。
4. 计算： 点击“计算稳态”以查看完整分析，包括平稳分布、收敛图、状态图和逐步解决方案。

理解您的结果

稳态向量

主要输出是向量 \(\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)\)，其中每个 \(\pi_i\) 代表处于状态 \(i\) 的长期概率。概率最高的即为主导状态。

收敛图

显示了概率分布如何从均匀分布开始，通过与 P 的连续相乘演变。收敛越快，表明链的混合性越强。

状态转移图

一个交互式的可视化表示，其中：

• 节点大小反映稳态概率
• 连线粗细代表转移概率
• 弯曲箭头显示转移方向
• 自环表示停留在同一状态的概率

实际应用

何时存在唯一的稳态？

当马尔可夫链具有遍历性（既不可约又非周期）时，它具有唯一的稳态分布：

• 不可约： 每个状态都可以从其他任何状态到达（没有断开的部分）
• 非周期： 通过任何状态的所有循环长度的最大公约数为 1（没有固定周期性）

如果链是可约的或周期的，它可能仍有平稳分布，但可能不唯一，且无法保证从所有初始分布都能收敛。

常见问题解答

什么是马尔可夫链的稳态分布？

稳态（或平稳）分布是一个概率向量 π，满足 πP = π，其中 P 是转移矩阵。它代表了无论初始状态如何，系统在每个状态中花费时间的长期比例。对于一个不可约且非周期的马尔可夫链，稳态分布是唯一的。

如何计算稳态概率？

要求得稳态向量 π，需要求解方程组 πP = π，并满足所有概率之和为 1 (Σπᵢ = 1) 的约束条件。这等同于在归一化约束下求解 (Pᵀ - I)π = 0。你也可以使用幂迭代法：将初始分布反复乘以 P 直到收敛。

马尔可夫链何时具有唯一的稳态分布？

当马尔可夫链既是不可约的（每个状态都可以从任何其他状态到达）又是非周期的（链不以固定周期循环）时，它具有唯一的稳态分布。这些属性结合在一起使该链具有遍历性，保证其收敛于唯一的平稳分布。

马尔可夫链中的平均回访时间是什么？

状态 i 的平均回访时间是从状态 i 开始并返回状态 i 所需的期望步数。对于遍历马尔可夫链，平均回访时间等于 1/πᵢ，其中 πᵢ 是状态 i 的稳态概率。稳态概率越高的状态，其平均回访时间越短。

转移矩阵和稳态向量有什么区别？

转移矩阵 P 是一个 n×n 矩阵，其中 P(i,j) 给出了一步内从状态 i 转移到状态 j 的概率。每一行的和为 1。稳态向量 π 是一个 1×n 的概率向量，代表了跨状态的长期分布。P 描述的是单步动态，而 π 描述的是平衡行为。

其他资源

• 马尔可夫链 - 维基百科
• 平稳分布 - 维基百科
• 随机矩阵 - 维基百科