反余弦 (Arccos) 计算器

反余弦 (Arccos) 计算器

反余弦计算器可以计算 -1 到 1 之间任何值的反余弦 (arccos)。输入余弦值即可立即以角度或弧度形式找到对应的角度，并附带交互式单位圆可视化、逐步解决方案以及高达 1000 位小数精度的结果。

什么是反余弦 (Inverse Cosine)？

反余弦，记作 arccos(x) 或 cos⁻¹(x)，是余弦函数的反函数。给定一个值 x，反余弦返回余弦值等于 x 的角度 θ。用数学术语表示：

例如，arccos(0.5) = 60°，因为 cos(60°) = 0.5。当您在直角三角形中知道邻边与斜边的比率时，该函数对于在三角学、几何学、物理学和工程学中查找角度至关重要。

反余弦的定义域和值域

定义域限制的存在是因为余弦值始终介于 -1 和 1 之间。值域限制在 [0, π] 内以确保反余弦是一个函数，每个输入只有一个输出。该区间称为主值范围。

特殊角度参考

某些角度具有精确的反余弦值，记住这些值很重要。这些特殊角度经常出现在数学、物理和工程中：

• arccos(1) = 0° = 0
• arccos(√3/2) = 30° = π/6
• arccos(√2/2) = 45° = π/4
• arccos(1/2) = 60° = π/3
• arccos(0) = 90° = π/2
• arccos(-1/2) = 120° = 2π/3
• arccos(-√2/2) = 135° = 3π/4
• arccos(-√3/2) = 150° = 5π/6
• arccos(-1) = 180° = π

单位圆与反余弦

单位圆提供了反余弦的几何解释。对于单位圆上的一个点 (x, y)：

• x 坐标等于 cos(θ)，其中 θ 是与正 x 轴的角度
• 给定余弦值 x，arccos(x) 在圆的上半部分（其中 y ≥ 0）找到角度 θ
• 这解释了为什么反余弦返回 [0, π] 中的值 - 这些是上半圆的角度

cos(θ) = x 的通解

虽然反余弦给出了 [0, π] 中的主值 θ₀，但由于余弦的周期性和对称性，存在无数个具有相同余弦值的角度：

这里，k 是任何整数。± 考虑了余弦的偶对称性：cos(θ) = cos(-θ)。2πk（或 360°k）考虑了余弦的周期性。

如何使用此计算器

1. 输入余弦值：输入 -1 到 1 之间的任何数字。您可以键入像 0.707 这样的十进制值，或使用快速示例按钮获取常用值。
2. 选择输出单位：为日常应用选择角度，或为微积分和物理计算选择弧度。
3. 设置精度：根据您的精度需求指定小数位数 (1-1000)。科学工作可能需要更高的精度。
4. 计算：单击按钮以查看角度、逐步解决方案、单位圆可视化以及两种单位转换。
5. 查看通解：找到共享相同余弦值的所有角度。

角度与弧度之间的转换

此计算器提供角度和弧度两种结果。要手动转换：

• 弧度转角度：乘以 180/π（约 57.2958）
• 角度转弧度：乘以 π/180

与其他反三角函数的关系

反三角函数通过重要的恒等式相关联：

• 对于 [-1, 1] 中的所有 x，arccos(x) + arcsin(x) = π/2 (或 90°)
• arccos(-x) = π - arccos(x) (反射性质)
• 对于 [-1, 1] 中的所有 x，cos(arccos(x)) = x
• 当 θ 在 [0, π] 内时，arccos(cos(θ)) = θ

反余弦的应用

几何与三角学

当您知道边长时，反余弦用于查找三角形中的角度。使用余弦定理，当所有三条边都已知时，您可以找到任何角度。

物理学

在物理学中，反余弦出现在计算向量之间的角度（使用点积公式）、分析抛体运动以及研究波的干涉模式中。

计算机图形学

3D 图形编程使用反余弦来计算光照角度、确定表面方向以及在不同方向之间制作旋转动画。

导航与地理

球面余弦定律使用反余弦来计算地球上各点之间的大圆距离，这对导航和地图制作至关重要。

常见问题解答

什么是反余弦 (arccos)？

反余弦，记作 arccos(x) 或 cos⁻¹(x)，是余弦函数的反函数。它返回余弦值等于 x 的角度。例如，arccos(0.5) = 60°，因为 cos(60°) = 0.5。该函数定义在 -1 到 1 之间的输入，并返回 [0°, 180°] 或 [0, π] 弧度范围内的角度。

反余弦的定义域和值域是什么？

反余弦的定义域是 [-1, 1]，这意味着您只能输入介于 -1 到 1 之间（含）的值。值域（输出）是 [0, π] 弧度或 [0°, 180°]。这个受限的范围确保了反余弦是一个函数，每个输入只有一个输出。

反余弦的特殊角度有哪些？

具有精确反余弦值的特殊角度包括：arccos(1) = 0°，arccos(√3/2) = 30°，arccos(√2/2) = 45°，arccos(1/2) = 60°，arccos(0) = 90°，arccos(-1/2) = 120°，arccos(-√2/2) = 135°，arccos(-√3/2) = 150° 以及 arccos(-1) = 180°。

如何将反余弦从弧度转换为角度？

要将弧度转换为角度，请乘以 180/π（约 57.2958）。例如，π/3 弧度 × (180/π) = 60°。相反，要将角度转换为弧度，请乘以 π/180。此计算机会自动提供两种单位的结果。

cos(θ) = x 的通解是什么？

如果 θ₀ = arccos(x) 是主值，则 cos(θ) = x 的所有解由 θ = ±θ₀ + 2πk（弧度）或 θ = ±θ₀ + 360°k（角度）给出，其中 k 是任何整数。这考虑了余弦函数的周期性和对称性。

其他资源

有关反三角函数的更多信息：

• 反三角函数 - 维基百科
• 反余弦 - Wolfram MathWorld

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