终端速度计算器

终端速度计算器可以帮助您快速计算出下落物体在空气阻力与重力达到平衡时所能达到的最大稳定速度——只需输入其质量、阻力系数和横截面积即可。您可以选择跳伞员、雨滴、猫、保龄球或羽毛等预设，或者输入您自己的物体数据，选择下落介质（空气、水或蜂蜜），此工具便会通过公式 \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) 计算出终端速度，并准确展示该物体必须下落多长时间以及多远距离才能真正达到该速度。

什么是终端速度？

终端速度是指下落物体最终达到的恒定速度，此时来自周围流体的向上阻力逐渐增大，直到完全抵消向下的重力。由于净合力为零，物体的加速度停止（牛顿第一定律），并继续以该稳定的最大速度下落。任何在空气中飘落或坠落的物体——无论是跳伞员、冰雹还是树叶——都会逐渐趋近于其自身的终端速度，这取决于它的重量与其形状和大小产生的阻力之间的博弈。

在真空中，由于没有流体，因而也没有阻力，所以不存在终端速度：羽毛和锤子会以完全相同的速率下落，正如宇航员大卫·斯科特在阿波罗 15 号任务期间在月球上所演示的那样。

终端速度公式

终端速度公式是通过将阻力设置为等于物体重量而推导出来的。二次阻力公式为 \(F_d = \tfrac{1}{2}\rho v^2 A C_d\)；令 \(F_d = mg\) 并求解 \(v\) 可得：

其中：

• \(v_t\) — 终端速度（米每秒）
• \(m\) — 物体的质量（千克）
• \(g\) — 重力加速度，在地球上为 \(9.80665\ \text{m/s}^2\)
• \(\rho\) — 流体密度（海平面空气约为 \(1.225\ \text{kg/m}^3\)）
• \(A\) — 面对流体的横截面积（平方米）
• \(C_d\) — 阻力系数，一个取决于形状的无量纲常数（球体约为 0.5，平板或展开肢体的跳伞员约为 1.0–1.3）

需要多长时间才能达到终端速度？

从静止状态释放的物体不会瞬间达到终端速度——它会沿着双曲正切曲线平滑地逼近它，并且从严格的数学意义上讲，永远无法完全触及 100%：

特征时间 \(\tau = v_t/g\) 反映了逼近过程的快慢。在实际应用中，物理学家通常认为当物体达到终端速度的 95% 或 99% 时，就可以说它“达到了终端速度”。此计算器利用公式 \(t_f = \tau\,\operatorname{arctanh}(f)\) 和 \(x_f = \tfrac{v_t^2}{2g}\ln\!\big(1/(1-f^2)\big)\)，计算并报告您的物体达到终端速度 95% 和 99% 的确切时间和下落距离。例如，一个腹部朝下的跳伞员需要下落大约 10 秒钟和约 450 米的距离才能达到 95% 的终端速度。

常见物体的终端速度（在空气中）

哪些因素会影响终端速度？

如何使用此计算器

1. 选择一个物体： 选择跳伞员、雨滴或保龄球等预设，或者选择“自定义物体”来输入您自己的数据。
2. 输入质量、阻力和面积： 对于自定义物体，键入其质量、阻力系数和横截面积，并选择所需的单位（kg/g/lb 以及 m²/cm²/ft²）。
3. 选择介质： 选择海平面空气、高海拔稀薄空气、水或蜂蜜——这决定了流体的密度。
4. 点击计算： 该工具会应用公式 \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) 并立即显示结果。
5. 探索计算结果： 读取以 m/s、km/h、mph 和马赫为单位的终端速度，观看下落动画和 tanh 逼近曲线，查看达到终端速度所需的时间和距离，并参考详细的分步计算过程。

常见问题解答

什么是终端速度？

终端速度是指下落物体在空气（或其他流体）向上的阻力与向下的万有引力完全平衡时达到的恒定最大速度。在这一点上，净合力为零，因此物体停止加速。对于腹部朝下的跳伞员来说，这大约是每小时 190 公里。

如何计算终端速度？

终端速度等于（2 × 质量 × 重力加速度，除以 流体密度、横截面积 和 阻力系数 的乘积）的平方根：\(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\)。重力加速度为 \(9.81\ \text{m/s}^2\)，海平面空气密度约为 \(1.225\ \text{kg/m}^3\)。较重或更紧凑的物体下落得更快；较大或阻力较大的物体下落得更慢。

更重的物体会达到更高的终端速度吗？

是的。终端速度随质量的平方根而增大，因此对于相同的形状，较重的物体下落得更快。这与真空中所有物体以相同速率加速的情况不同。在存在空气阻力的情况下，保龄球达到的终端速度远高于相同尺寸的沙滩球。

需要多长时间才能达到终端速度？

从静止状态下落的物体沿着 tanh 曲线接近终端速度，并且永远无法完全达到 100%。它通常会在几秒钟内达到约 95%。人类跳伞员在下落约 10 秒和 450 米后达到终端速度的 95% 左右。此计算器可报告您的物体达到 95% 和 99% 的确切时间和距离。

人类的终端速度是多少？

腹部朝下下落的跳伞员的终端速度约为 53 m/s——相当于每小时 190 公里或每小时 120 英里。在头朝下的俯冲中，由于正面迎风面积小得多，该速度可能上升到大约 90 m/s 或更高。翼装飞行则通过牺牲垂直速度来换取更慢的、类似于滑翔的降落方式。

为什么羽毛和锤子在月球上以相同的速率下落？

终端速度只有在存在流体产生阻力时才存在。在没有空气的月球上没有空气阻力，也不存在终端速度，因此所有物体都会同步加速——正如阿波罗 15 号羽毛与锤子实验所证明的那样。在地球上，羽毛巨大的面积和极小的质量导致其终端速度极低，因此它会缓缓飘落。

更多资源

• 终端速度 - 维基百科
• 阻力系数 - 维基百科