向量模计算器

计算二维、三维或 n 维向量的模（长度或欧几里得范数）。获取详细的计算步骤，包括每个分量的平方、根号下的和以及最终的平方根结果，并配有交互式向量图。

向量模计算器

向量模计算器用于计算任意维度向量的长度（欧几里得范数）。输入向量分量，即可立即获得模、单位向量、方向角、详细的分步平方根计算过程、分量贡献分析以及显示向量及其投影的交互式图示。

向量模公式

对于向量 $\vec{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle$，其模（或欧几里得范数）为：

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$

这是勾股定理的直接推广。在 2D 空间中，$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 给出了由分量构成的直角三角形的斜边长度。在 3D 空间中，它扩展为 $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

各维度下的模

2D 向量

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
xy 平面内向量的长度。等同于原点到点 (x, y) 的距离。

3D 向量

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
常用于物理学、工程学和 3D 图形学中的空间计算。

单位向量

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
模为 1 且指向相同方向的向量。用于表示纯粹的方向。

n 维向量

$|\vec{v}| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$
相同的公式适用于任何维度，广泛用于数据科学和机器学习。

常用公式参考

公式名称	表达式	描述
模 (Magnitude)	$\|\vec{v}\| = \sqrt{\sum v_i^2}$	向量的长度（L2 范数）
单位向量	$\hat{v} = \vec{v} / \|\vec{v}\|$	归一化的方向向量
方向余弦	$\cos \alpha_i = v_i / \|\vec{v}\|$	与各轴夹角的余弦值
距离	$d = \|\vec{B} - \vec{A}\|$	两点之间的距离

实际应用

🚀

物理学

根据速度求速率、力的大小、场强

🎮

游戏开发

距离检测、碰撞检测、归一化

🤖

机器学习

特征缩放、距离度量、梯度范数

📡

信号处理

信号能量、RMS 计算、噪声幅度

🗺

导航

位移、直线距离、方位角

📊

数据科学

聚类中的欧几里得距离、相似度

如何使用向量模计算器

选择维度 — 选择 2D、3D 或高维自定义维度。或者点击快速示例自动填充样本向量。
输入分量 — 输入以逗号分隔的向量分量（例如：2D 为 3, 4，3D 为 1, 2, 3）。也支持空格、分号和国际数字格式。
点击计算 — 按下“计算向量模”按钮计算所有结果。
查看结果 — 查看模、单位向量、方向角、分步公式、分量贡献分解以及带有可切换图层的交互式向量图。

常见问题解答

什么是向量的模？

向量的模（也称为长度、范数或绝对值）是一个标量，表示从原点到向量终点的距离。对于向量 v = (v₁, v₂, ..., vₙ)，其模为 √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)，使用的是根据勾股定理推导出的欧几里得距离公式。

如何求 3D 向量的模？

对于 3D 向量 v = (x, y, z)，其模为 |v| = √(x² + y² + z²)。将每个分量平方，相加，然后对总和开平方根。例如，对于 v = (3, 4, 0)，|v| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5。

什么是单位向量，如何求它？

单位向量是模为 1 且与原向量方向相同的向量。要找到单位向量，请将向量的每个分量除以其模：v̂ = v / |v|。单位向量用于表示没有大小的纯粹方向。标准单位向量为 î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), 和 k̂ = (0,0,1)。

向量的模可以为零吗？

是的。模为零的唯一向量是零向量，其所有分量均为 0。零向量没有方向，是向量空间中的加法单位元。由于不能除以零，其单位向量是未定义的。

模和距离之间有什么区别？

向量的模给出了从原点到向量终点的距离。两点 A 和 B 之间的距离等于从 A 到 B 的向量的模：d(A,B) = |B − A|。两者都使用相同的欧几里得公式，但模是单个向量的属性，而距离涉及两个点。

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