三角形垂心计算器

欢迎使用 三角形垂心计算器 —— 这是一个交互式工具，可以根据顶点坐标查找任何三角形的垂心（三条高线的交点），并提供显示高线、欧拉线、逐步解决方案和完整三角形分析的实时图表。无论您是几何系学生、处理坐标几何的工程师，还是数学爱好者，此计算器都能让垂心计算变得即时且可视化。

什么是三角形的垂心？

三角形的 垂心 是三条 高线 相交的点。高线是从顶点向对边（或其延长线）引出的垂直线段。垂心是四个经典 三角形中心 之一，另外三个是重心、外心和内心。

垂心公式

对于顶点为 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 和 C(x₃, y₃) 的三角形，垂心 H(Hx, Hy) 可通过求解垂直方程组得出：

这将产生一个包含两个未知数（Hx 和 Hy）的二元一次方程组，可通过克莱姆法则或代入法求解。

垂心位于何处？

与重心（始终位于三角形内部）不同，垂心的位置取决于三角形的类型：

• 锐角三角形： 垂心位于三角形 内部。
• 直角三角形： 垂心与 直角顶点 重合。
• 钝角三角形： 垂心位于三角形 外部，处于钝角对应边的另一侧。

欧拉线

对于任何非等边三角形，三个重要的中心在 欧拉线 上共线：

• 外心 (O) —— 外接圆的圆心
• 重心 (G) —— 质量中心（中线交点）
• 垂心 (H) —— 高线交点

重心将线段 OH 从 O 点开始按 1:2 的比例划分，即 OG:GH = 1:2。这一强大的关系连接了三个看似无关的三角形性质。

如何使用此计算器

1. 输入坐标： 输入顶点 A、B 和 C 的 x 和 y 值。支持负数和小数。
2. 选择精度： 选择您喜欢的小数位数（2 到 10 位）。
3. 点击计算： 垂心 H = (Hx, Hy) 将随完整的步骤分解和交互式图表一起显示。
4. 探索图表： 查看三角形及其三条带直角标记的彩色高线、垂足、动态垂心以及连接 H、G 和 O 的欧拉线。

垂心与其他三角形中心的比较

垂心的性质

• 高线共点性： 任何三角形的三条高线总是交于一点 —— 垂心。这是塞瓦定理的一个推论。
• 欧拉线： H、G 和 O 共线（等边三角形除外，此时它们重合）。
• 反射性质： 将垂心关于任何边的中点进行反射，该点将位于外接圆上。
• 垂心系统： 如果 H 是三角形 ABC 的垂心，那么每个顶点都是由另外两个顶点和 H 组成的三角形的垂心。
• 距离关系： 从垂心到顶点的距离之和等于从外心到顶点距离之和的两倍。

常见问题解答

什么是三角形的垂心？

垂心是三角形三条高线的交点。高是从顶点到对边的垂直线段。它是四个经典三角形中心之一，位于欧拉线上。

如何用坐标找到三角形的垂心？

利用点积条件建立两个垂直方程：AH·BC = 0 和 BH·AC = 0。这将得到一个 2×2 的线性方程组，您可以使用克莱姆法则求解垂心坐标 (Hx, Hy)。本计算器会自动执行所有这些步骤。

垂心总是在三角形内部吗？

不。垂心仅在锐角三角形内部。对于直角三角形，它位于直角顶点。对于钝角三角形，它位于三角形外部。这使得垂心在三角形中心中显得非常独特。

什么是欧拉线？

欧拉线是穿过三个三角形中心的直线：外心 (O)、重心 (G) 和垂心 (H)。重心按 1:2 的比例划分线段 OH。对于等边三角形，这三个点重合，因此不存在唯一的直线。

垂心和重心有什么区别？

垂心是三条高线（垂直于对边）的交点，而重心是三条中线（连接顶点到对边中点）的交点。重心始终位于三角形内部，是其质量中心。对于钝角三角形，垂心可以位于外部。

其他资源

• 高线 (三角形) - 维基百科
• 欧拉线 - 维基百科
• 三角形中心 - 维基百科