เครื่องคำนวณสมการแบร์นูลลี

เครื่องคำนวณสมการแบร์นูลลี ช่วยคำนวณหาความสัมพันธ์อันโด่งดังในวิชากลศาสตร์ของไหลระหว่าง ความดัน, ความเร็วการไหล และ ความสูง ตามแนวเส้นกระแส เพียงกรอกค่าที่คุณทราบที่จุดสองจุดบนเส้นกระแส เลือกหนึ่งตัวแปรที่คุณต้องการค้นหา แล้วเครื่องมือนี้จะคืนค่าตัวแปรนั้นกลับมา — พร้อมทั้งแสดงแผนภาพท่อแบบเคลื่อนไหว แผนภูมิ เส้นระดับพลังงาน ที่พิสูจน์ให้เห็นอย่างชัดเจนว่าพลังงานได้รับการอนุรักษ์ และวิธีแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอนอย่างละเอียด นี่คือเครื่องคำนวณที่เหมาะสำหรับนักศึกษา วิศวกร และใครก็ตามที่ทำงานเกี่ยวกับท่อ, หัวฉีด, เครื่องวัดเวนทูรี หรือหลักพลศาสตร์การบิน

สมการแบร์นูลลีคืออะไร?

หลักการของ แดเนียล แบร์นูลลี ที่คิดค้นขึ้นในปี 1738 เป็นการระบุถึง การอนุรักษ์พลังงาน สำหรับของไหลที่กำลังเคลื่อนที่ สำหรับการไหลแบบคงตัว, ไม่สามารถอัดตัวได้ และไม่มีความหนืดตามแนวเส้นกระแสเส้นเดียว ผลรวมของพลังงานความดัน, พลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจะมีค่าคงที่จากจุดหนึ่งไปยังจุดถัดไป

ในที่นี้ \(P\) คือความดันสถิต, \(\rho\) (โรว์) คือความหนาแน่นของของไหล, \(v\) คือความเร็วการไหล, \(g\) คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (9.81 m/s²) และ \(h\) คือความสูง เทอมทั้งสามนี้แสดงถึง พลังงานความดัน, พลังงานจลน์ (ความเร็ว) และ พลังงานศักย์ (ความสูง) ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรตามลำดับ

รูปแบบเฮดและเส้นระดับพลังงาน

การหารทุกเทอมด้วย \(\rho g\) จะทำให้เขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ เฮด (Heads) — ซึ่งแต่ละเทอมจะกลายเป็นความสูงในหน่วยเมตรของของไหล นี่คือรูปแบบที่เครื่องคำนวณนี้แสดงภาพให้เห็น:

เฮดทั้งสามแบบได้แก่ เฮดความดัน \(P/\rho g\), เฮดความเร็ว \(v^2/2g\) และ เฮดความสูง \(h\) ผลรวมของพวกมันคือ เฮดรวม (Total head) \(H\) ซึ่งจะมีค่าคงที่ตลอดแนวเส้นกระแสสำหรับการไหลในอุดมคติ — ระดับที่คงที่นี้เรียกว่า เส้นระดับพลังงาน (Energy Grade Line หรือ EGL) แท่งซ้อนกันสองแท่งในส่วนผลลัพธ์จะมีความสูงรวมเท่ากันเสมอ ซึ่งเป็นภาพที่ชัดเจนที่สุดในการอธิบายหลักการของแบร์นูลลี: พลังงานเพียงแค่เปลี่ยนรูปสลับกันไปมาระหว่างความดัน, ความเร็ว และความสูง ในขณะที่พลังงานรวมยังคงคงที่

วิธีที่เครื่องคำนวณนี้ใช้แก้หาค่าตัวแปรใดๆ

สมการแบร์นูลลีเชื่อมโยงตัวแปรหกตัวแปรเข้าด้วยกันจากทั้งสองจุด (\(P_1, v_1, h_1, P_2, v_2, h_2\)) หากคุณทราบค่าห้าตัวแปร สมการจะสามารถจัดรูปใหม่เพื่อหาตัวแปรที่หกได้ดังนี้:

• การแก้หาความดัน: \(P = E - \tfrac{1}{2}\rho v^{2} - \rho g h\) โดยที่ \(E\) คือพลังงานรวมที่คำนวณได้จากจุดที่ทราบค่าครบถ้วน
• การแก้หาความเร็ว: \(v = \sqrt{\dfrac{2\,(E - P - \rho g h)}{\rho}}\) หากค่าที่ทราบทำให้ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองติดลบ หมายความว่าไม่มีการไหลในความเป็นจริงที่สามารถตอบสนองเงื่อนไขนั้นได้ และเครื่องมือจะรายงานข้อผิดพลาดดังกล่าว
• การแก้หาความสูง: \(h = \dfrac{E - P - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}}{\rho g}\)

ตัวอย่างโจทย์ฉบับทำจริง: การไหลผ่านท่อที่แคบลง

น้ำ (\(\rho = 998\) kg/m³) ไหลในท่อแนวราบ ที่จุดที่ 1 ความดันเท่ากับ 200 kPa และมีความเร็วเท่ากับ 2 m/s ถัดไปทางปลายน้ำท่อแคบลงและความดันลดลงเหลือ 180 kPa ความเร็วใหม่จะมีค่าเท่าใด?

1. พลังงานรวมที่จุดที่ 1: \(E = 200{,}000 + \tfrac{1}{2}(998)(2)^2 = 201{,}996\) Pa
2. แก้หา \(v_2\): \(v_2 = \sqrt{2(201{,}996 - 180{,}000)/998} \approx 6.64\) m/s

ของไหลจะมีความเร็วเพิ่มขึ้นจาก 2 เป็นประมาณ 6.6 m/s เมื่อท่อแคบลง และความดันจะลดลง — ซึ่งเป็นไปตามที่แบร์นูลลีทำนายไว้ทุกประการ และเป็นสิ่งที่เครื่องวัดเวนทูรีใช้วัดค่า

การประยุกต์ใช้งานจริงของหลักการแบร์นูลลี

ข้อสมมติฐานและข้อจำกัด

สมการแบร์นูลลีจะมีความแม่นยำร้อยเปอร์เซ็นต์ภายใต้สภาวะในอุดมคติเท่านั้น โปรดคำนึงถึงข้อจำกัดเหล่านี้:

• การไหลแบบคงตัว (Steady flow) — สภาวะในแต่ละจุดจะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา
• ของไหลที่ไม่อัดตัว (Incompressible fluid) — ความหนาแน่นคงที่ ซึ่งเป็นข้อสมมติที่ดีสำหรับของเหลวและสำหรับอากาศที่ความเร็วต่ำกว่าประมาณ Mach 0.3
• ความเสียดทานมีค่าน้อยมากจนละทิ้งได้ — ไม่มีการสูญเสียจากความหนืดหรือความปั่นป่วน ท่อในความเป็นจริงจะสูญเสียเฮดไปกับความเสียดทาน ดังนั้นเฮดรวมที่ปลายน้ำจึงต่ำกว่าค่าในอุดมคติเล็กน้อย
• อยู่บนเส้นกระแสเดียวกัน — จุดทั้งสองจุดต้องอยู่บนเส้นกระแสเส้นเดียวกัน
• ไม่มีปั๊มหรือเทอร์ไบน์ อยู่ระหว่างจุดทั้งสองจุด ซึ่งตัวอุปกรณ์เหล่านั้นจะเข้ามาเพิ่มหรือดึงพลังงานออกไป

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. เลือกสิ่งที่คุณต้องการคำนวณหาค่า: เลือกตัวแปรที่ไม่ทราบค่า — ความดัน, ความเร็ว หรือความสูง ที่จุดที่ 1 หรือจุดที่ 2 — จากเมนู คำนวณหา ช่องนั้นจะกลายเป็นสีเทาและถูกกำหนดให้เป็นช่องคำตอบ
2. เลือกของไหลและหน่วย: เลือกน้ำ, อากาศ, น้ำทะเล, น้ำมัน หรือกรอกความหนาแน่นแบบกำหนดเอง และเลือกหน่วยความดัน (Pa, kPa, bar, psi หรือ atm)
3. กรอกค่าที่ทราบ ที่จุดทั้งสองสำหรับตัวแปรห้าตัวแปรที่เหลือ
4. คลิก คำนวณ เพื่อรับค่าที่ไม่ทราบค่า, แผนภาพเส้นกระแสแบบเคลื่อนไหว, แผนภูมิเส้นระดับพลังงาน, ตารางแจกแจงรายละเอียดของเฮด และวิธีการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน

คำถามที่พบบ่อย

สมการแบร์นูลลีคืออะไร?

สมการแบร์นูลลีระบุว่าสำหรับการไหลแบบคงตัว, ไม่สามารถอัดตัวได้ และไม่มีความหนืดตามเส้นกระแส ผลรวมของความดัน, พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร และพลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรจะมีค่าคงที่: P + ½ρv² + ρgh = ค่าคงที่ ซึ่งเป็นการแสดงออกถึงการอนุรักษ์พลังงานสำหรับของไหลที่กำลังไหล

เครื่องคำนวณสมการแบร์นูลลีนี้สามารถคำนวณหาอะไรได้บ้าง?

มันสามารถแก้หาค่าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งจากทั้งหมดหกตัวแปรได้แก่ ความดัน, ความเร็ว หรือความสูง ที่จุดใดจุดหนึ่งจากสองจุดบนเส้นกระแสเดียวกัน เพียงเลือกตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจากเมนู คำนวณหา กรอกค่าอีกห้าค่าที่เหลือ แล้วเครื่องคำนวณจะคืนค่าที่ขาดหายไปให้

รูปแบบเฮดของสมการแบร์นูลลีคืออะไร?

การหารทุกเทอมด้วย ρg จะแปลงสมการให้อยู่ในรูปของเฮดที่มีหน่วยวัดเป็นเมตรของของไหล: เฮดความดัน P/(ρg), เฮดความเร็ว v²/(2g) และเฮดความสูง h ผลรวมของพวกมันคือเฮดรวม ซึ่งจะคงที่ตลอดเส้นกระแสสำหรับการไหลในอุดมคติ นี่คือสิ่งที่แผนภูมิเส้นระดับพลังงานแสดงให้เห็น

สมการแบร์นูลลีมีข้อสมมติฐานอะไรบ้าง?

สมการนี้สมมติว่าเป็นการไหลแบบคงตัว, ของไหลที่ไม่อัดตัวซึ่งมีความหนาแน่นคงที่, การสูญเสียจากความเสียดทานหรือความหนืดมีค่าน้อยมากจนละทิ้งได้, การไหลอยู่บนเส้นกระแสเดียว และไม่มีพลังงานเพิ่มหรือลดโดยปั๊มหรือเทอร์ไบน์ ระบบในความเป็นจริงที่มีความเสียดทานจะสูญเสียเฮด ดังนั้นเฮดรวมที่ปลายน้ำจะต่ำกว่าค่าในอุดมคติเล็กน้อย

ทำไมความดันถึงลดลงเมื่อของไหลมีความเร็วเพิ่มขึ้น?

เนื่องจากพลังงานรวมได้รับการอนุรักษ์ เมื่อของไหลมีความเร่ง — เช่น ไหลผ่านท่อที่แคบลง — เฮดความเร็วของมันจะเพิ่มขึ้น ดังนั้นเฮดความดันจึงต้องลดลงเพื่อให้เฮดรวมคงที่ ความสัมพันธ์ผกผันระหว่างความเร็วและความดันนี้เป็นหัวใจสำคัญของหลักการของแบร์นูลลี และช่วยอธิบายแรงยกบนปีกเครื่องบินและการไหลผ่านท่อเวนทูรี

ฉันควรใช้หน่วยใด?

ความเร็วจะถูกกรอกในหน่วยเมตรต่อวินาทีและความสูงในหน่วยเมตร ความดันสามารถกรอกในหน่วยปาสกาล, กิโลปาสกาล, บาร์, psi หรือบรรยากาศ (atm) และผลลัพธ์จะแสดงในหน่วยเดียวกัน ส่วนความหนาแน่นจะอยู่ในหน่วยกิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร พร้อมค่าที่ตั้งไว้ล่วงหน้าสำหรับของไหลทั่วไป

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• หลักการของแบร์นูลลี - Wikipedia
• เฮดไฮดรอลิก & เส้นระดับพลังงาน - Wikipedia