กฎของเครเมอร์สามารถแก้ระบบที่ใหญ่กว่า 3x3 ได้หรือไม่?

ตามทฤษฎีแล้ว กฎของเครเมอร์สามารถแก้ระบบ n-by-n ใดๆ ก็ได้ แต่จะใช้ทรัพยากรในการคำนวณสูงมากสำหรับระบบขนาดใหญ่ เพราะต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ถึง n+1 ตัว สำหรับระบบที่ใหญ่กว่า 3x3 วิธีการอย่างการกำจัดแบบเกาส์หรือการแยกตัวประกอบ LU จะมีประสิทธิภาพมากกว่า

เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

แก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบ 2 หรือ 3 ตัวแปรโดยใช้กฎของเครเมอร์ ป้อนค่าสัมประสิทธิ์เพื่อดูการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน พร้อมภาพประกอบเมทริกซ์แบบเคลื่อนไหว กราฟการตีความทางเรขาคณิต และคำตอบที่สมบูรณ์

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์ลองใช้เลย — ฟรี ▼

Embed เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์นี้ช่วยแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 หรือ 3 ตัวแปรโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ เพียงกรอกเมทริกซ์สัมประสิทธิ์และเวกเตอร์ค่าคงที่ เพื่อรับคำตอบฉบับเต็มพร้อมการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน ภาพประกอบการแทนที่คอลัมน์ในเมทริกซ์ และกราฟแสดงผลทางเรขาคณิตสำหรับระบบ 2×2 กฎของเครเมอร์เป็นเทคนิคพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้นที่แสดงตัวแปรแต่ละตัวเป็นอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์สองตัว

กฎของเครเมอร์คืออะไร?

กฎของเครเมอร์ (Cramer's rule) เป็นทฤษฎีบทในพีชคณิตเชิงเส้นที่ให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร โดยที่ระบบต้องมีคำตอบเพียงชุดเดียว กฎนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส กาเบรียล เครเมอร์ (Gabriel Cramer, 1704–1752) โดยใช้ ดีเทอร์มิแนนต์ (determinants) ในการหาค่าตัวแปรในรูปของอัตราส่วน:

$$x_i = \frac{D_i}{D}$$

โดยที่ $D$ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ และ $D_i$ คือดีเทอร์มิแนนต์ที่เกิดจากการแทนที่คอลัมน์ที่ $i$ ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ด้วยเวกเตอร์ค่าคงที่

แนวคิดหลัก

📐

ดีเทอร์มิแนนต์

ค่าสเกลาร์ที่คำนวณจากเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งบ่งบอกว่าระบบสมการมีคำตอบเดียวหรือไม่

🔄

การแทนที่คอลัมน์

การแทนที่คอลัมน์หนึ่งของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ด้วยเวกเตอร์ค่าคงที่เพื่อสร้าง D_i แต่ละตัว

📊

คำตอบชุดเดียว

เกิดขึ้นเมื่อ D ≠ 0 โดยตัวแปรแต่ละตัวจะมีค่าเท่ากับ D_i / D

⚠

กรณีเมทริกซ์เอกฐาน

เมื่อ D = 0 ระบบสมการจะไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด

สูตรของกฎของเครเมอร์

สำหรับระบบ 2×2

กำหนดระบบสมการ:

$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$

ดีเทอร์มิแนนต์	สูตร	คำอธิบาย
$D$	$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2$	ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์
$D_x$	$\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2$	แทนที่คอลัมน์ x ด้วยค่าคงที่
$D_y$	$\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2$	แทนที่คอลัมน์ y ด้วยค่าคงที่

คำตอบ: $x = D_x / D$, $y = D_y / D$

สำหรับระบบ 3×3

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 คำนวณโดยใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวแรก โดย $D_i$ แต่ละตัวเกิดจากการแทนที่คอลัมน์ที่ตรงกันด้วยเวกเตอร์ค่าคงที่ และคำตอบคือ $x_i = D_i / D$

กฎของเครเมอร์ใช้ได้เมื่อใด?

เงื่อนไข	ค่า D	ผลลัพธ์
มีคำตอบชุดเดียว	D ≠ 0	ตัวแปรแต่ละตัว = D_i / D
ไม่มีคำตอบ (ไม่สอดคล้อง)	D = 0 และมีบาง D_i ≠ 0	เส้นตรงหรือระนาบขนานกัน
มีคำตอบไม่จำกัด	D = 0 และ D_i ทุกตัว = 0	สมการไม่เป็นอิสระต่อกัน (ซ้ำซ้อน)

กฎของเครเมอร์เทียบกับวิธีอื่น

วิธี	เหมาะสำหรับ	ข้อจำกัด
กฎของเครเมอร์	ระบบขนาดเล็ก (2×2, 3×3), ต้องการคำตอบในรูปสัญลักษณ์ที่แม่นยำ	ช้าสำหรับระบบขนาดใหญ่ (ความซับซ้อนระดับ n!)
การกำจัดแบบเกาส์	ระบบทั่วไป, เมทริกซ์ขนาดใหญ่	ไม่มีสูตรสำเร็จรูปแบบปิด
อินเวอร์สเมทริกซ์	กรณีที่มีค่าคงที่ทางขวามือหลายชุด	ต้องใช้ D ≠ 0 และใช้ทรัพยากรคำนวณสูง
การแยกตัวประกอบ LU	การแก้ซ้ำหลายครั้ง, ความเสถียรเชิงตัวเลข	การเขียนโปรแกรมมีความซับซ้อนกว่า

วิธีใช้เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

เลือกขนาดของระบบ: เลือก 2×2 หรือ 3×3 ตามจำนวนสมการและตัวแปรที่คุณมี
กรอกค่าสัมประสิทธิ์: กรอกเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้าย แต่ละแถวคือหนึ่งสมการ และแต่ละคอลัมน์คือตัวแปร (x, y, z)
กรอกค่าคงที่: กรอกเวกเตอร์ค่าคงที่ทางด้านขวา (ตัวเลขที่อยู่หลังเครื่องหมายเท่ากับของแต่ละสมการ)
คลิกคำนวณ: เครื่องคำนวณจะหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด (D, D_x, D_y และ D_z ถ้ามี) ระบุประเภทของคำตอบ และแสดงขั้นตอนอย่างละเอียดพร้อมภาพประกอบเมทริกซ์

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

สาขา	การประยุกต์ใช้	ตัวอย่าง
วิศวกรรมศาสตร์	การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า (กฎของคิร์ชฮอฟฟ์)	การหาค่ากระแสไฟฟ้าในโครงข่ายตัวต้านทาน
เศรษฐศาสตร์	ดุลยภาพของตลาด	จุดตัดระหว่างอุปสงค์และอุปทาน
ฟิสิกส์	สมดุลของแรง	การหาแรงปฏิกิริยาในวิชาสถิตยศาสตร์
เคมี	การดุลสมการเคมี	การหาสัมประสิทธิ์ปริมาณสัมพันธ์
คอมพิวเตอร์กราฟิก	การแปลงพิกัด	จุดตัดระหว่างเส้นตรงและระนาบ

FAQ

กฎของเครเมอร์คืออะไร?

กฎของเครเมอร์เป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ สำหรับแต่ละตัวแปร คุณจะแทนที่คอลัมน์ในเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ด้วยเวกเตอร์ค่าคงที่ แล้วหารค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้ด้วยดีเทอร์มิแนนต์หลัก วิธีนี้ใช้ได้เมื่อเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

กฎของเครเมอร์ใช้ไม่ได้เมื่อใด?

กฎของเครเมอร์จะใช้ไม่ได้เมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระบบสมการอาจไม่มีคำตอบ (ไม่สอดคล้อง — สมการอธิบายเส้นตรงหรือระนาบที่ขนานกัน) หรือมีคำตอบไม่จำกัด (ไม่เป็นอิสระ — สมการซ้ำซ้อนกัน) ในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่น เช่น การกำจัดแบบเกาส์

สูตรของกฎของเครเมอร์ในระบบ 2×2 คืออะไร?

สำหรับระบบ a1*x + b1*y = c1, a2*x + b2*y = c2: จะได้ x = Dx/D และ y = Dy/D โดยที่ D = a1*b2 - b1*a2 คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์, Dx คือการแทนที่คอลัมน์ x ด้วยค่าคงที่ และ Dy คือการแทนที่คอลัมน์ y ด้วยค่าคงที่

กฎของเครเมอร์สามารถแก้ระบบที่ใหญ่กว่า 3×3 ได้หรือไม่?

ตามทฤษฎีแล้ว กฎของเครเมอร์สามารถแก้ระบบ n×n ใดๆ ก็ได้ แต่จะใช้ทรัพยากรในการคำนวณสูงมากสำหรับระบบขนาดใหญ่ เพราะต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ถึง n+1 ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีขนาด n×n สำหรับระบบที่ใหญ่กว่า 3×3 วิธีการอย่างการกำจัดแบบเกาส์หรือการแยกตัวประกอบ LU จะมีประสิทธิภาพมากกว่ามากในทางปฏิบัติ

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงอะไรในทางเรขาคณิต?

สำหรับระบบ 2×2 ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงเส้นตรงสองเส้นขนานกัน (ไม่มีคำตอบ) หรือทับกันพอดี (มีคำตอบไม่จำกัด) สำหรับระบบ 3×3 หมายถึงระนาบทั้งสามไม่ตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งอาจจะขนานกัน ตัดกันเป็นเส้นตรง หรือทับกันทั้งหมดในระนาบเดียว

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-12

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

กฎของเครเมอร์คืออะไร?

แนวคิดหลัก

สูตรของกฎของเครเมอร์

สำหรับระบบ 2×2

สำหรับระบบ 3×3

กฎของเครเมอร์ใช้ได้เมื่อใด?

กฎของเครเมอร์เทียบกับวิธีอื่น

วิธีใช้เครื่องคำนวณกฎของเครเมอร์

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

FAQ

พีชคณิตเชิงเส้น:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

ดาวน์โหลดทุกไฟล์เป็น ZIP เดียวด้วย Pro

ดีเทอร์มิแนนต์	สูตร	คำอธิบาย
\(D\)	\(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\)	ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์
\(D_x\)	\(\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\)	แทนที่คอลัมน์ x ด้วยค่าคงที่
\(D_y\)	\(\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\)	แทนที่คอลัมน์ y ด้วยค่าคงที่