Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
> Kalkulator projekcji wektorowej
 

Kalkulator projekcji wektorowej

Oblicz projekcję wektorową i projekcję skalarną jednego wektora na drugi. Obsługuje wektory 2D i 3D z wzorami krok po kroku, interaktywnym diagramem i rozkładem ortogonalnym.

Kalkulator projekcji wektorowej

Szybkie przykłady:

2D: ⟨3, 4⟩ → ⟨1, 2⟩ 2D: ⟨5, 1⟩ → ⟨3, -2⟩ 3D: ⟨1, 2, 3⟩ → ⟨4, 5, 6⟩ 3D: ⟨2, -1, 3⟩ → ⟨1, 1, 1⟩
a Wektor a (rzutowany)
x
y
b Wektor b (kierunek rzutu)
x
y
Wskazówka: Projekcja a na b mówi Ci, jaka część wektora a działa w kierunku wektora b.

Embed Kalkulator projekcji wektorowej Widget

O Kalkulator projekcji wektorowej

Witaj w Kalkulatorze projekcji wektorowej, potężnym narzędziu algebry liniowej, które oblicza projekcję jednego wektora na drugi wraz z podziałem wzorów krok po kroku, interaktywną wizualizacją geometryczną oraz rozkładem ortogonalnym. Niezależnie od tego, czy uczysz się algebry liniowej, rozwiązujesz problemy z fizyki, czy analizujesz dane w uczeniu maszynowym, ten kalkulator sprawia, że projekcje wektorowe stają się intuicyjne i łatwe do zrozumienia.

Co to jest projekcja wektorowa?

Projekcja wektorowa to fundamentalna operacja w algebrze liniowej, która określa, jaka część jednego wektora rzutuje się na kierunek drugiego wektora. Dla danych wektorów a i b, projekcja wektora a na b tworzy nowy wektor, który leży wzdłuż wektora b i reprezentuje "cień" wektora a rzucony na linię wyznaczoną przez wektor b.

Istnieją dwa powiązane pojęcia:

  • Projekcja skalarna (składowa): Pojedyncza liczba reprezentująca długość rzutu wzdłuż wektora b.
  • Projekcja wektorowa: Wektor leżący wzdłuż b o module równym projekcji skalarnej.

Wzór na projekcję wektorową

Projekcja wektorowa a na b
$$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$$

Wzór na projekcję skalarną

Projekcja skalarna (składowa)
$$\text{comp}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

Rozkład ortogonalny

Każdy wektor a można rozłożyć na dwie prostopadłe składowe względem b:

Rozkład ortogonalny
$$\vec{a} = \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} + \vec{a}_{\perp}$$

Gdzie \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) jest składową wektora a prostopadłą do wektora b (zwaną również odrzutem wektorowym).

Jak korzystać z tego kalkulatora

  1. Wybierz wymiar: Wybierz wektory 2D lub 3D za pomocą przycisków przełączania.
  2. Wprowadź wektory: Wpisz składowe wektora a (wektora rzutowanego) oraz wektora b (kierunku rzutu).
  3. Oblicz: Kliknij "Oblicz projekcję", aby zobaczyć pełne wyniki, w tym projekcję wektorową, skalarną, składową ortogonalną, kąt między wektorami i rozwiązanie krok po kroku.
  4. Eksploruj wizualizację: Przejrzyj interaktywny diagram pokazujący wszystkie wektory i relacje geometryczne między nimi.

Zrozumienie wyników

  • Projekcja wektorowa: Wektor rzutu, który leży wzdłuż b.
  • Projekcja skalarna: Długość rzutu (dodatnia, jeśli kąt < 90°, ujemna, jeśli kąt > 90°).
  • Składowa ortogonalna: Część wektora a prostopadła do b.
  • Kąt między wektorami: Kąt θ podany zarówno w stopniach, jak i radianach.
  • Skalar projekcji (a·b/b·b): Mnożnik stosowany do wektora b, aby otrzymać wektor projekcji.

Zastosowania projekcji wektorowej

Fizyka

Obliczanie pracy wykonanej przez siłę (W = F·d), rozkładanie sił na składowe wzdłuż osi oraz analiza ruchu na równiach pochyłych.

Grafika komputerowa

Obliczenia oświetlenia, rzucanie cieni, projekcje kamer i wykrywanie kolizji wykorzystują intensywnie projekcje wektorowe.

Uczenie maszynowe

Analiza głównych składowych (PCA), rzutowanie cech i redukcja wymiarowości opierają się na rzutowaniu danych na kluczowe kierunki.

Inżynieria

Analiza strukturalna, przetwarzanie sygnałów i rozkład pól elektromagnetycznych wykorzystują projekcje do analizy składowych.

Przypadki szczególne

  • Wektory równoległe (θ = 0°): Projekcja a na b jest równa samemu wektorowi a (przeskalowanemu przez stosunek długości).
  • Wektory antyrównoległe (θ = 180°): Projekcja ma zwrot przeciwny do wektora b.
  • Wektory prostopadłe (θ = 90°): Projekcja jest wektorem zerowym — wektor a nie ma składowej wzdłuż b.
  • Projekcja skalarna = 0: Wektory są ortogonalne (prostopadłe).
  • Ujemna projekcja skalarna: Kąt między wektorami przekracza 90°.

Często zadawane pytania

Co to jest projekcja wektorowa?

Projekcja wektorowa wektora a na b to składowa a, która leży w kierunku b. Jest obliczana jako projb(a) = (a·b / b·b) × b. Wynikiem jest wektor skierowany w tym samym (lub przeciwnym) kierunku co b, reprezentujący to, jak duża część a przypada na b.

Jaka jest różnica między projekcją skalarną a wektorową?

Projekcja skalarna to pojedyncza liczba reprezentująca długość rzutu wzdłuż b, obliczana jako compb(a) = a·b / |b|. Projekcja wektorowa to wynik w postaci wektora, posiadający zarówno moduł, jak i kierunek, obliczany jako projb(a) = (a·b / b·b) × b. Projekcja skalarna jest wartością (ze znakiem) projekcji wektorowej.

Co to jest składowa ortogonalna (odrzut wektorowy)?

Składowa ortogonalna (zwana również odrzutem wektorowym) to część wektora a, która jest prostopadła do wektora b. Oblicza się ją jako a⊥ = a − projb(a). Razem projekcja i odrzut rozkładają a na dwie prostopadłe składowe, których suma jest równa oryginalnemu wektorowi.

Czy projekcja skalarna może być ujemna?

Tak. Ujemna projekcja skalarna oznacza, że kąt między dwoma wektorami jest większy niż 90°, więc wektor a posiada składową skierowaną przeciwnie do b. Wartość bezwzględna projekcji skalarnej wciąż reprezentuje długość rzutu.

Dlaczego projekcja wektorowa jest ważna w uczeniu maszynowym?

Projekcja wektorowa jest podstawą technik takich jak Analiza Głównych Składowych (PCA), która rzutuje dane wysokowymiarowe na kierunki o maksymalnej wariancji. Jest również stosowana w regresji (rzutowanie wektorów odpowiedzi na przestrzenie cech), systemach rekomendacyjnych i redukcji wymiarowości, co czyni ją jedną z najczęściej używanych operacji w data science.

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator projekcji wektorowej" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 18 lutego 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Polecane narzędzia:

Kalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Kalkulator Kompatybilności MiłosnejPrzelicznik stóp na metrywyszukiwanie-adresu-macLosowy Generator GrupRozdzielacz obrazówKalkulator Znaku WenusSortować alfabetycznieGenerator Prawda czy WyzwanieLosowanie listyKalkulator inflacji w USALosowy generator przedmiotówKonwerter szesnastkowy na dziesiętnyGenerator kodu Morse'aKalkulator PrzeciwprostokątnejLosowy Generator KolorówGenerator losowych słów angielskichKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Selektor liczb losowychCyfrowy Kalkulator DuszyKalkulator znaku księżycowegoGenerator Losowych UrodzinLosowy generator zwierzątPrzelicznik cm na stopy i caleKalkulator dziedziny i zbioru wartościKalkulator Obwodu ElipsyGenerator Rozkładu GaussaGenerator losowej godzinyKalkulator Liczby ImieniaKalkulator numerów aniołaGenerator losowych krajówLosowy Generator Drabinki TurniejowejKalkulator Powrotu SaturnaKonwerter ułamkowy czasuLosowy selektor filmówGenerator losowych supermocyJaki jest mój chiński znak zodiaku?Kalkulator ułamka zwykłego na dziesiętnyKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoAnalizator adresów MACKonwerter stóp i cali na centymetryKonwerter Czasu na DziesiętnyJaki jest mój szczęśliwy numer?Konwerter liczb rzymskichKonwerter dziesiętny na szesnastkowyLosowy Generator LiterRozdzielacz AudioEkstraktor Obrazów z WideoKalkulator podwójnych całekKalkulator dnia tygodniaKalkulator liczby ścieżek życiaKonwerter HexadecymalnyKonwerter Radianów na StopnieKalkulator GranicKalkulator HexKalkulator Testu U Manna-WhitneyaCzy to liczba pierwsza?Generator losowych ciągówKalkulator KwartyliLooper MP3Generator LabiryntówKalkulator pochodnych cząstkowychKalkulator kompatybilności znaków KsiężycaLosowy SelektorSortuj LiczbyKalkulator Numerów MistrzowskichKalkulator Współczynnika DyskontowegoKonwerter cali na centymetryKalkulator liczb zespolonychKalkulator testu chi-kwadratKalkulator Wspolczynnika KorelacjiLista Lat PrzestępnychKalkulator Czasu TrwaniaKalkulator szeregu TayloraKonwerter gramów na funtyKalkulator ilości cyfrKalkulator funkcji odwrotnejKalkulator Godzin PracyKalkulator średniej ocen GPAPrzelicznik centymetrów na caleKalkulator głębi ostrości (DoF)kalkulator-hba1cKalkulator wiekuKonwerter Ósemkowy na DziesiętnyZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakukalkulator-wzrostu-wartości-nieruchomościKonwerter MP4 na GIFNarzędzie do liczenia wierszyPrzelicznik Metrów na StopyKalkulator Długości ŁukuAI Dodawanie InterpunkcjiGenerator numerów loteriiKalkulator Równowagi Żywiołów AstrologicznychKalkulator projekcji wektorowejKalkulator Grama-SchmidtaKalkulator równania sferyKalkulator odległości punktu od płaszczyznyKalkulator Ortocentrum TrójkątaKalkulator środka ciężkości trójkątaKalkulator wzoru sznurowadłaKalkulator ułamków łańcuchowychKalkulator modularnej odwrotności multiplikatywnejKalkulator rozszerzonego algorytmu EuklidesaKalkulator Funkcji Tocjenta EuleraKalkulator chińskiego twierdzenia o resztachGenerator Diagramu Venna (3 zbiory)Kalkulator teorii zbiorówGenerator tablicy prawdyPrzelicznik wagi człowiek-mrówkaKalkulator kalorii dla kotówKalkulator oszczędności żarówekKalkulator kosztu prysznicaKalkulator kosztów energii kopania BitcoinaKalkulator wartości papieru toaletowegoWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramKalkulator Przebiegu KlawiaturyGenerator Bingo z BuzzwordamiKalkulator Prawdopodobieństwa Dnia ChorobowegoKalkulator rzeczywistej stawki godzinowejKalkulator Kawa vs. DrzemkaKalkulator czasu odpowiedzi na e-mailKalkulator FIRE - Niezależność Finansowa i Wcześniejsza EmeryturaKalkulator zmarnowanego czasu na dojazdyLicznik Kosztów SpotkaniaKalkulator zarobków w toalecieGenerator KakuroGenerator KenKen (Calcudoku)generator-nonogramów-picrossSolver i trener gry 24Generator i solver sudokuKalkulator deski serówKalkulator fontanny czekoladowejKalkulator ABV KoktajluKalkulator porcji spaghettiKalkulator czasu chłodzenia piwaKalkulator taco barKalkulator grillaKalkulator przedawkowania kofeinyPlaner imprezy pizzowejKalkulator alkoholu na weseleKalkulator domu z klocków LegoKalkulator wypełniania pokoju popcornemKalkulator uderzenia spadającej monetyKalkulator spadania przez ZiemięKalkulator promieniowania bananaKalkulator energii chomikaKalkulator współczynnika błędów teleportacjiKalkulator gotowania kurczaka energią kinetycznąKalkulator Nośności Balonu HelowegoKalkulator czasu przetrwania zombieSprawdzacz rozmiaru indeksowania GooglebotKalkulator współczynnika parkingowegoKalkulator choinki świątecznejKalkulator apokalipsy wampirówKalkulator Wartości PizzyKalkulator stoiska z lemoniadąGenerator Losowego Stanu USAGenerator losowych wymówekGenerator Losowych AktywnościGenerator losowych przepisów na koktajleGenerator losowych nazw domenGenerator losowych haikuGenerator losowych promptów pisarskichGenerator losowego IMEIGenerator losowych person użytkownikaGenerator losowych fałszywych adresówGenerator losowego numeru portuGenerator losowego NanoIDGenerator losowego PINKalkulator żywotności bateriiKalkulator szerokości ścieżki PCBKalkulator spadku napięciaKalkulator prawa OhmaKalkulator kodu kolorów rezystoraGenerator przekierowań .htaccessOptymalizator SVGGenerator FaviconGenerator Wyrażeń CrontabFormatowacz SQLKonwerter cURL do JSONDekoder JWTKonwerter JSON na YAMLKalkulator konwersji drożdżyKonwerter rozmiaru formy do pieczeniaKalkulator nawodnienia ciastakalkulator-procentu-piekarzaKalkulator rozmiaru haftu krzyżykowegoKalkulator tkaninKalkulator włóczkiKalkulator solanki i zasoleniaKalkulator proporcji parzenia kawyKalkulator ABV HomebrewKalkulator wosku i olejku zapachowego do świecKalkulator ługu do mydła (SAP)Kalkulator rozmiaru wydruku i rozdzielczości (DPI/PPI)Kalkulator złotej godziny i niebieskiej godzinyKalkulator prawdopodobieństwa kościKalkulator rozmieszczenia roślinKalkulator konwersji skali modeluKalkulator podłoża akwariowegoKalkulator objętości i obsady akwariumZakręć kołemRzut kostkąRzut monetąGenerator Kamień Papier NożyceMagiczna Kula 8Generator losowych kart do gryGenerator losowego adresu IPGenerator losowych datGenerator losowych współrzędnychGenerator losowego User-AgentGenerator losowych kart kredytowychGenerator losowego JSONGenerator losowej palety kolorówGenerator losowych emojiGenerator Losowych PosiłkówKalkulator wartości pipsaKalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator strategii MartingaleKalkulator Kryterium Kelly'egoKalkulator Stop Loss i Take ProfitKalkulator rozszerzenia Fibonacciegokalkulator-punktu-zwrotnegoKalkulator dźwigni kryptoKonwerter Satoshi na DolaryKalkulator Arbitrażu KryptowalutKalkulator nietrwałej stratyKalkulator Zysku z OpcjiKalkulator Implikowanej ZmiennościKalkulator Greckich OpcjiKalkulator Wyceny Opcji Blacka-ScholesaKalkulator ryzyka ruinyKalkulator Zysku ze Sprzedaży KrótkiejKalkulator Wezwania do Uzupełnienia DepozytuKalkulator Wielkości PozycjiKalkulator średniej akcjiUsuwacz Niewidocznych ZnakówKonwerter Tekstu na Listę SQLEkstraktor Kolumn TekstowychKalkulator Różnicy ListGenerator Tekstu ZalgoGenerator sztuki ASCIIGenerator Niewidocznego Tekstugenerator-tekstu-do-góry-nogamiGenerator Tekstu ZalgoGenerator Ozdobnego TekstuCzytnik tekstu na mowęKonwerter Czytania BionicznegoSprawdzacz Gęstości Słów KluczowychKalkulator wyniku czytelnościGenerator Lorem IpsumKalkulator Oszczędności Czasu DziennegoUsuwacz Inteligentnych CudzysłowówGenerator tabel MarkdownEscape/Unescape ciągów JSONGenerator Slugów URLKoder / Dekoder Encji HTMLKalkulator punktów przecięcia z osią X i YKalkulator wierzchołka i osi symetriiKalkulator Składania FunkcjiRysowanie Wykresów FunkcjiGrafik układu nierównościRozwiązywacz nierówności wartości bezwzględnejRozwiązywacz NierównościRozwiązywacz Układów Równań LiniowychRozwiązywacz równań z pierwiastkamiRozwiązywacz Równań Wartości BezwzględnejRozwiązywacz Równań LiniowychKalkulator Dzielenia SyntetycznegoKalkulator Dzielenia WielomianówKalkulator Rozszerzania WielomianówKalkulator Faktoryzacji WielomianówKalkulator wyrażeń wymiernychUpraszczacz pierwiastkówUproszczacz wyrażeń algebraicznychKreator wykresów funkcji trygonometrycznychKalkulator Tożsamości TrygonometrycznychInteraktywny wizualizator okręgu jednostkowegoKonwerter współrzędnych kartezjańskich na biegunoweKonwerter współrzędnych biegunowych na kartezjańskieKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSKonwerter DMS na stopnie dziesiętneKalkulator Prawa CosinusówKalkulator Prawa SinusówRozwiązywacz ogólnego trójkątaKalkulator Trójkąta ProstokątnegoKalkulator Funkcji HiperbolicznychKalkulator kosekansa, sekansa i kotangensaKalkulator atan2Kalkulator arcus tangensaKalkulator arcus kosinusaKalkulator Arcus SinusaKalkulator tangensaKalkulator KosinusaKalkulator sinusaKalkulator nachylenia i stopniaKalkulator Kąta UkośnegoSprawdzanie kątów prostych (Reguła 3-4-5) 📐Kalkulator stóp tablicowychKalkulator tarasówKalkulator ogrodzeniaKalkulator ściółki, gleby i żwiruKalkulator ram ściennychKalkulator pokrycia dachowegoKalkulator nachylenia dachuKalkulator schodówKalkulator tapetyKalkulator podłógKalkulator płytekKalkulator farbyKalkulator cegieł i zaprawyKalkulator BetonuWyszukiwarka kamienia urodzenia i kwiatu zodiakuKalkulator celtyckiego zodiaku drzewaKalendarz nowiu i pełni księżycaKalendarz retrogradacji MerkuregoKalkulator równowagi modalności astrologicznychKalkulator znaku MerkuryKalkulator Znaku MarsaTester siły hasłaKalkulator uprawnień Unix (chmod)Generator zadań CronKalkulator pierwiastka n-tego stopnia - wysoka precyzjaKonwerter częstotliwości i długości faliWalidator XMLDostosuj Prędkość WideoKonwerter FPSDodaj lub Zamień Dźwięk w FilmiePołącz filmyDodaj znak wodny do wideo