Kalkulator konwolucji

O Kalkulator konwolucji

Witaj w Kalkulatorze konwolucji, kompleksowym darmowym narzędziu online do obliczania konwolucji dyskretnej i ciągłej ze szczegółowymi rozwiązaniami krok po kroku i interaktywnymi wizualizacjami. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się przetwarzania sygnałów, inżynierem analizującym układy liniowe, czy badaczem pracującym nad operacjami matematycznymi, ten kalkulator zapewnia wszystko, czego potrzebujesz, aby dokładnie zrozumieć i obliczyć konwolucję.

Co to jest konwolucja?

Konwolucja (splot) to podstawowa operacja matematyczna, która łączy dwie funkcje (lub sygnały) w celu wytworzenia trzeciej funkcji. Opisuje, jak kształt jednej funkcji jest modyfikowany przez drugą. Konwolucja jest oznaczana symbolem gwiazdki (*) i jest niezbędna w przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazów, teorii prawdopodobieństwa i wielu zastosowaniach inżynieryjnych.

W przetwarzaniu sygnałów konwolucja określa sygnał wyjściowy liniowego układu stacjonarnego (LTI) przy danym sygnale wejściowym i odpowiedzi impulsowej układu. Czyni to ją jedną z najważniejszych operacji w zrozumieniu sposobu, w jaki systemy transformują sygnały.

Konwolucja dyskretna

Dla sygnałów czasu dyskretnego konwolucja sekwencji x[n] i h[n] jest zdefiniowana jako:

Dla skończonych sekwencji o długościach N i M, wynik ma długość N + M - 1.

Konwolucja kołowa

Konwolucja kołowa (lub cykliczna) jest stosowana, gdy sygnały są okresowe lub podczas pracy z dyskretną transformatą Fouriera (DFT). Dla N-punktowej konwolucji kołowej:

Operacja modulo powoduje zawijanie indeksów, co sprawia, że konwolucja kołowa nadaje się do analizy sygnałów okresowych.

Konwolucja ciągła

Dla funkcji czasu ciągłego całka konwolucyjna jest zdefiniowana jako:

Dla sygnałów przyczynowych (sygnałów, które wynoszą zero dla t mniejszego niż 0), granice stają się od 0 do t.

Funkcje tego kalkulatora konwolucji

• Wiele typów konwolucji: Obsługuje dyskretną konwolucję liniową, dyskretną konwolucję kołową oraz konwolucję ciągłą (postać całkowa).
• Rozwiązania krok po kroku: Zapewnia szczegółowe rozbicie matematyczne pokazujące każdy krok procesu konwolucji, co ułatwia zrozumienie obliczeń.
• Interaktywne wizualizacje: Generuje wykresy Chart.js pokazujące sygnały wejściowe i wynik konwolucji dla lepszego zrozumienia wizualnego.
• Elastyczne formaty wejściowe: Wprowadzaj sekwencje z nawiasami lub bez (1, 2, 3 lub [1, 2, 3]) oraz funkcje przy użyciu standardowej notacji matematycznej.
• Szybkie przykłady: Przyciski z gotowymi przykładami pozwalają natychmiastowo przetestować różne scenariusze konwolucji.
• Renderowanie MathJax: Piękne wzory matematyczne renderowane z profesjonalnym składem.

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wybierz typ konwolucji: Wybierz spośród Dyskretnej Konwolucji Liniowej (dla standardowego przetwarzania sygnałów), Dyskretnej Konwolucji Kołowej (dla zastosowań DFT) lub Konwolucji Ciągłej (dla funkcji matematycznych).
2. Wprowadź sygnały wejściowe lub funkcje: Dla konwolucji dyskretnej wprowadź wartości oddzielone przecinkami (np. 1, 2, 3, 4). Dla konwolucji ciągłej wprowadź wyrażenia matematyczne (np. t, sin(t), exp(-t)).
3. Użyj przykładów: Kliknij przyciski przykładów, aby szybko załadować popularne scenariusze konwolucji i zobaczyć, jak różne dane wejściowe dają różne wyniki.
4. Oblicz i analizuj: Kliknij "Oblicz konwolucję", aby zobaczyć wynik wraz z kompletnymi rozwiązaniami krok po kroku, tabelami obliczeniowymi i interaktywnymi wizualizacjami.

Właściwości konwolucji

Konwolucja ma kilka ważnych właściwości matematycznych, które są przydatne w przetwarzaniu i analizie sygnałów:

Zastosowania konwolucji

Przetwarzanie sygnałów

Konwolucja jest fundamentem filtrowania sygnałów. Gdy splotujesz sygnał wejściowy z odpowiedzią impulsową filtra, otrzymujesz przefiltrowane wyjście. Tak właśnie filtry dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe i pasmowe przetwarzają sygnały.

Przetwarzanie obrazu

W przetwarzaniu obrazów konwolucja 2D jest używana do operacji takich jak rozmycie, wyostrzanie, wykrywanie krawędzi i płaskorzeźba. Jądra konwolucyjne (małe macierze) przesuwają się po obrazach, tworząc różne efekty.

Przetwarzanie dźwięku

Pogłos konwolucyjny symuluje przestrzenie akustyczne poprzez splot „suchego” dźwięku z odpowiedzią impulsową pomieszczenia lub hali. Tworzy to realistyczne efekty pogłosu, które oddają unikalne cechy fizycznych przestrzeni.

Sieci neuronowe

Konwolucyjne sieci neuronowe (CNN) używają konwolucji jako swojej głównej operacji. Uczone jądra konwolucyjne wyodrębniają cechy z obrazów, dzięki czemu CNN są niezwykle skuteczne w rozpoznawaniu obrazów i zadaniach komputerowej wizji.

Analiza systemów

Dla każdego liniowego układu stacjonarnego (LTI) wyjście y(t) równa się splotowi wejścia x(t) z odpowiedzią impulsową układu h(t). Ta zależność jest fundamentalna dla analizy systemów sterowania i systemów komunikacyjnych.

Teoria prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa splotowi ich indywidualnych gęstości (PDF). Jest to szeroko stosowane w statystyce i procesach stochastycznych.

Konwolucja liniowa a kołowa

Zrozumienie różnicy między konwolucją liniową a kołową jest kluczowe dla prawidłowego przetwarzania sygnałów:

Konwolucja liniowa

• Długość wyjściowa: N + M - 1 dla wejść o długościach N i M
• Brak zawijania - indeksy wykraczają poza pierwotną długość sygnału
• Stosowana w ogólnym przetwarzaniu sygnałów i filtrowaniu
• Reprezentuje rzeczywistą fizyczną konwolucję sygnałów skończonych

Konwolucja kołowa

• Długość wyjściowa: max(N, M) po uzupełnieniu zerami do równych długości
• Wykorzystuje arytmetykę modulo do zawijania indeksów
• Wymagana przy użyciu DFT dla wydajnych obliczeń
• Konwolucję liniową można uzyskać z kołowej przez uzupełnienie zerami do długości N + M - 1

Przewodnik po formatach wejściowych

Sekwencje dyskretne

Wprowadź wartości sygnału oddzielone przecinkami. Nawiasy są opcjonalne:

• 1, 2, 3, 4 - Proste wartości oddzielone przecinkami
• [1, 2, 3, 4] - Z nawiasami kwadratowymi
• 0.5, 1.5, 2.5 - Obsługiwane wartości dziesiętne
• -1, 0, 1, 0, -1 - Obsługiwane wartości ujemne

Funkcje ciągłe

Wprowadź wyrażenia matematyczne przy użyciu standardowej notacji:

• t - Funkcja liniowa
• t**2 lub t^2 - Wielomian (użyj ** dla wykładników)
• sin(t), cos(t), tan(t) - Funkcje trygonometryczne
• exp(t), exp(-t) - Funkcje wykładnicze
• log(t) - Logarytm naturalny
• 2*t + 3 - Kombinacje ze stałymi

Typowe przykłady konwolucji

Filtr średniej ruchomej

3-punktowy filtr średniej ruchomej wygładza dane: h[n] = [1/3, 1/3, 1/3]. Splot z tym filtrem uśrednia każdy punkt z jego sąsiadami.

Wykrywanie krawędzi

Jądro różnicowe h[n] = [1, -1] wykrywa przejścia. Splot z nim znajduje miejsca, w których wartości sygnału zmieniają się gwałtownie.

Wygładzanie gaussowskie

Jądra Gaussa, takie jak [0.25, 0.5, 0.25], zapewniają gładkie, dzwonowate uśrednianie, które redukuje szum, zachowując strukturę sygnału.

Różniczkowanie

Jądro [1, -2, 1] przybliża drugą pochodną, przydatną do wykrywania szczytów i krzywizny w sygnałach.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest konwolucja w przetwarzaniu sygnałów?

Konwolucja to operacja matematyczna, która łączy dwa sygnały w celu wytworzenia trzeciego sygnału. Opisuje, jak kształt jednego sygnału jest modyfikowany przez drugi. W przetwarzaniu sygnałów służy do określania wyjścia liniowego układu stacjonarnego (LTI) przy danym sygnale wejściowym i odpowiedzi impulsowej układu.

Jaka jest różnica między konwolucją liniową a kołową?

Konwolucja liniowa daje wynik o długości N+M-1, gdzie N i M to długości wejściowe. Jest stosowana dla sygnałów nieperiodycznych. Konwolucja kołowa zakłada sygnały okresowe i daje wynik o tej samej długości co dane wejściowe. Indeksy zawijają się przy użyciu arytmetyki modulo.

Jak korzystać z kalkulatora konwolucji dyskretnej?

Wprowadź wartości sygnału jako liczby oddzielone przecinkami (np. 1, 2, 3). Możesz opcjonalnie użyć nawiasów [1, 2, 3]. Wybierz typ konwolucji (liniowa lub kołowa), a następnie kliknij Oblicz. Kalkulator pokaże wynik wraz z obliczeniami krok po kroku i wizualizacjami.

Jakie funkcje są obsługiwane w konwolucji ciągłej?

Kalkulator konwolucji ciągłej obsługuje funkcje wielomianowe (t, t**2, t**3), wykładnicze (exp(t), exp(-t)), trygonometryczne (sin(t), cos(t), tan(t)), logarytmiczne (log(t)) i ich kombinacje. Użyj ** dla wykładników.

Jakie są typowe zastosowania konwolucji?

Konwolucja jest używana w filtrowaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazów (rozmycie, krawędzie), przetwarzaniu audio (pogłos), analizie systemów, sieciach neuronowych (CNN) oraz w statystyce.

Dlaczego mój wynik konwolucji ma więcej elementów niż dane wejściowe?

Dla konwolucji liniowej, jeśli wejście x ma N elementów, a h ma M elementów, wynik ma N + M - 1 elementów. Dzieje się tak, ponieważ konwolucja „przesuwa” jeden sygnał względem drugiego, a częściowe nachodzenia na początku i na końcu wpływają na długość wyjściową.

Jak konwolucja ma się do transformaty Fouriera?

Zgodnie z twierdzeniem o splocie, konwolucja w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstotliwości. Ta właściwość pozwala na wydajne obliczanie konwolucji przy użyciu FFT: transformujemy oba sygnały, mnożymy je i wykonujemy transformatę odwrotną.

Dodatkowe zasoby

Dowiedz się więcej o konwolucji i przetwarzaniu sygnałów:

• Splot - Wikipedia
• Całki splotowe - Khan Academy
• Signal Processing Stack Exchange

Inne powiązane narzędzia:

Analiza matematyczna:

• Kalkulator konwolucji
• Kalkulator pochodnych
• Kalkulator Pochodnych Kierunkowych
• Kalkulator podwójnych całek Polecane
• Kalkulator pochodnej niejawnej
• Kalkulator Całek Polecane
• Kalkulator Odwrotnej Transformaty Laplace'a Polecane
• Kalkulator transformaty Laplace'a
• Kalkulator Granic Polecane
• Kalkulator pochodnych cząstkowych Polecane
• Kalkulator Pochodnych Jednej Zmiennej
• Kalkulator szeregu Taylora
• Kalkulator całki potrójnej