Kalkulator hipotezy Collatza

Witaj w Kalkulatorze hipotezy Collatza, interaktywnym narzędziu do badania jednego z najbardziej fascynujących nierozwiązanych problemów matematycznych. Wpisz dowolną liczbę całkowitą dodatnią i obserwuj, jak rozwija się ciąg gradowy poprzez serię prostych reguł, aż nieuchronnie dotrze do pętli 4 → 2 → 1. Interaktywny wykres trajektorii, podział krok po kroku i obszerne statystyki pomogą Ci zwizualizować i zrozumieć zaskakujące zachowanie ciągu Collatza.

Co to jest hipoteza Collatza?

Hipoteza Collatza, znana również jako problem 3n+1, problem syrakuski lub problem gradowy, to jeden z najsłynniejszych nierozwiązanych problemów w matematyce. Została po raz pierwszy zaproponowana przez niemieckiego matematyka Lothara Collatza w 1937 roku.

Hipoteza głosi: Zacznij od dowolnej liczby całkowitej dodatniej n. Jeśli n jest parzyste, podziel je przez 2. Jeśli n jest nieparzyste, pomnóż przez 3 i dodaj 1. Powtarzaj ten proces. Hipoteza twierdzi, że bez względu na wybraną liczbę początkową, ciąg zawsze ostatecznie osiągnie 1.

Zasady Collatza

Zaczynając od dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(n\), wielokrotne stosowanie funkcji \(f\) tworzy ciąg zwany ciągiem gradowym (lub ciągiem Collatza). Hipoteza głosi, że ciąg ten zawsze osiąga 1, po czym wchodzi w cykl 1 → 4 → 2 → 1.

Dlaczego nazywa się to ciągiem gradowym?

Ciąg ten nazywany jest ciągiem gradowym, ponieważ wartości rosną i spadają w sposób nieprzewidywalny, podobnie jak gradzina, która jest miotana w górę i w dół wewnątrz chmury burzowej, zanim ostatecznie spadnie na ziemię. Kiedy liczba nieparzysta jest potrajana i zwiększana o jeden, wartość gwałtownie rośnie; gdy liczby parzyste są dzielone na pół, wartość spada. Ostatecznie "gradzina" dociera do ziemi — liczby 1.

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź liczbę początkową: Wpisz dowolną liczbę całkowitą dodatnią w polu wejściowym. Wypróbuj szybkie przykłady dla znanych wartości początkowych, takich jak 27 lub 871.
2. Wygeneruj ciąg: Kliknij „Generuj ciąg”, aby obliczyć pełny ciąg gradowy.
3. Zbadaj trajektorię: Interaktywny wykres pokazuje wartość na każdym kroku. Przełączaj między skalą liniową a logarytmiczną, aby lepiej zwizualizować ekstremalne szczyty.
4. Przejrzyj statystyki: Sprawdź czas zatrzymania, wartość szczytową, wskaźnik wzrostu oraz liczbę kroków parzystych/nieparzystych.
5. Przeanalizuj krok po kroku: Szczegółowa tabela pokazuje każdą operację zastosowaną na każdym etapie, z oznaczeniem kolorystycznym dla kroków parzystych (n/2) i nieparzystych (3n+1).

Zrozumienie wyników

Kluczowe statystyki

• Czas zatrzymania: Całkowita liczba kroków do osiągnięcia 1. Nazywany również całkowitym czasem zatrzymania.
• Wartość szczytowa: Najwyższa liczba osiągnięta podczas ciągu. Może być zaskakująco duża nawet dla małych wartości początkowych.
• Wskaźnik wzrostu: Stosunek wartości szczytowej do wartości początkowej. Pokazuje, jak bardzo ciąg „rośnie” przed spadkiem.
• Kroki parzyste: Liczba przypadków, w których zastosowano n/2 (wartości, które były parzyste).
• Kroki nieparzyste: Liczba przypadków, w których zastosowano 3n+1 (wartości, które były nieparzyste).

Wykres trajektorii ciągu

Interaktywny wykres wizualizuje ciąg gradowy z trzema wyróżnionymi punktami:

• Zielona kropka — Wartość początkowa
• Czerwona kropka — Wartość szczytowa (najwyższy punkt)
• Złota kropka — Wartość końcowa (1)

W przypadku ciągów o bardzo wysokich szczytach, przełącz się na skalę logarytmiczną, aby wyraźniej zobaczyć ogólny kształt.

Słynne przykłady

Liczba 27

Liczba 27 jest prawdopodobnie najsłynniejszą wartością początkową w badaniach nad hipotezą Collatza. Pomimo tego, że jest małą liczbą, generuje ciąg o długości 111 kroków i osiąga szczyt 9 232 — ponad 341 razy więcej niż jej wartość początkowa. To spektakularne zachowanie czyni ją klasycznym przykładem nieprzewidywalności hipotezy.

Rekordziści dla najdłuższych ciągów

Właściwości matematyczne

Stosunek kroków parzystych do nieparzystych

W typowym ciągu Collatza kroki parzyste (n/2) znacznie przewyższają liczbę kroków nieparzystych (3n+1). Wynika to z faktu, że każdy krok nieparzysty daje liczbę parzystą (3n+1 jest zawsze parzyste, gdy n jest nieparzyste), która jest następnie natychmiast dzielona na pół. Średnio stosunek kroków parzystych do nieparzystych wynosi około 2:1, co jest jednym z argumentów heurystycznych za tym, dlaczego ciągi mają tendencję do ogólnego spadku.

Pętla 4-2-1

Każdy ciąg Collatza, który osiągnie 1, wchodzi następnie w cykl: 1 → 4 → 2 → 1. Hipotezę można sformułować równoważnie: „Nie ma żadnego innego cyklu”, co oznacza, że żadna liczba początkowa nie wchodzi w cykl, który nie zawiera 1, i żaden ciąg nie rozbiega się do nieskończoności.

Weryfikacja obliczeniowa

Hipoteza Collatza została zweryfikowana obliczeniowo dla wszystkich wartości początkowych do około \(2,95 \times 10^{20}\) (stan na 2020 r.). Chociaż jest to silny dowód, nie stanowi on formalnego dowodu matematycznego.

Historia i godne uwagi badania

• 1937: Lothar Collatz po raz pierwszy postawił hipotezę podczas studiów na Uniwersytecie w Hamburgu.
• Lata 70. XX wieku: Problem zyskał szerokie zainteresowanie w środowisku matematycznym i zyskał wiele nazw (syrakuski, Ulama, Kakutaniego).
• 1985: Jeffrey Lagarias opublikował kompleksowy przegląd i wykazał powiązania z teorią liczb i układami dynamicznymi.
• 2019: Terence Tao udowodnił, że „prawie wszystkie” orbity Collatza osiągają wartości prawie ograniczone, co jest najsilniejszym dotychczasowym częściowym wynikiem w kierunku udowodnienia hipotezy.

Paul Erdős słynnie powiedział o hipotezie Collatza: „Matematyka może nie być jeszcze gotowa na takie problemy.”

Często zadawane pytania

Co to jest hipoteza Collatza?

Hipoteza Collatza (znana również jako problem 3n+1) głosi, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej, jeśli wielokrotnie zastosujesz regułę „jeśli parzysta, podziel przez 2; jeśli nieparzysta, pomnóż przez 3 i dodaj 1”, ciąg zawsze ostatecznie osiągnie 1. Pomimo prostych zasad, hipoteza ta pozostaje nieudowodniona, odkąd Lothar Collatz zaproponował ją po raz pierwszy w 1937 roku.

Co to jest ciąg gradowy?

Ciąg gradowy (zwany również ciągiem Collatza) to seria liczb powstała przez wielokrotne stosowanie reguł Collatza do liczby początkowej aż do osiągnięcia 1. Nazywa się go ciągiem „gradowym”, ponieważ wartości rosną i spadają jak gradzina w chmurze, zanim ostatecznie spadną na ziemię (osiągną 1).

Co to jest czas zatrzymania w hipotezie Collatza?

Czas zatrzymania (lub całkowity czas zatrzymania) to liczba kroków potrzebna, aby liczba początkowa osiągnęła 1 w swoim ciągu Collatza. Na przykład, zaczynając od 27, czas zatrzymania wynosi 111 kroków. Czas zatrzymania znacznie się różni dla różnych liczb początkowych i nie podąża za prostym wzorem.

Dlaczego 27 jest słynną liczbą w hipotezie Collatza?

Liczba 27 jest słynna w badaniach nad hipotezą Collatza, ponieważ pomimo bycia stosunkowo małą, generuje zaskakująco długi ciąg 111 kroków i osiąga wartość szczytową 9 232 — ponad 341 razy większą niż jej wartość początkowa. Czyni to ją klasycznym przykładem tego, jak nieprzewidywalny może być ciąg Collatza.

Czy hipoteza Collatza została udowodniona?

Nie, hipoteza Collatza nie została udowodniona do roku 2024. Została zweryfikowana obliczeniowo dla wszystkich wartości początkowych do około \(2,95 \times 10^{20}\), ale ogólny dowód matematyczny pozostaje nieuchwytny. W 2019 roku Terence Tao udowodnił, że hipoteza jest prawdziwa dla „prawie wszystkich” liczb w sensie teorii miary.

Jaki jest najdłuższy ciąg Collatza dla małych liczb?

Wśród liczb poniżej 1 000, liczba 871 ma najdłuższy ciąg Collatza wynoszący 178 kroków. Poniżej 10 000 jest to 6 171 z 261 krokami. Poniżej 100 000 jest to 77 031 z 350 krokami. Poniżej 1 000 000 rekordzistą jest 837 799 z 524 krokami.

Dodatkowe zasoby

• Hipoteza Collatza - Wikipedia
• Ciąg gradowy - Wikipedia