Kalkulator funkcji odwrotnej
Oblicz funkcję odwrotną f^(-1)(x) dla danej funkcji f(x) ze szczegółowymi instrukcjami krok po kroku, pokazującymi jak znaleźć odwrotność algebraicznie.
O Kalkulator funkcji odwrotnej
Witamy w naszym Kalkulatorze funkcji odwrotnej, darmowym narzędziu online, które pomaga znaleźć odwrotność funkcji wraz ze szczegółowymi instrukcjami krok po kroku. Niezależnie od tego, czy jesteś uczniem uczącym się o funkcjach odwrotnych, przygotowującym się do analizy matematycznej, czy nauczycielem tworzącym przykłady, ten kalkulator zapewnia jasne wyjaśnienia procesu algebraicznego.
Co to jest funkcja odwrotna?
Funkcja odwrotna, oznaczana jako $f^{-1}(x)$, odwraca działanie oryginalnej funkcji $f(x)$. Jeśli $f(a) = b$, to $f^{-1}(b) = a$. Innymi słowy, funkcja odwrotna „cofa” to, co robi funkcja pierwotna.
Kluczowe właściwości funkcji odwrotnych obejmują:
- Własność składania: $f(f^{-1}(x)) = x$ oraz $f^{-1}(f(x)) = x$
- Zależność graficzna: Wykres $f^{-1}(x)$ jest odbiciem $f(x)$ względem prostej $y = x$
- Zamiana dziedziny i zbioru wartości: Dziedzina $f$ staje się zbiorem wartości $f^{-1}$ i odwrotnie
Jak znaleźć odwrotność funkcji
Postępuj zgodnie z poniższymi krokami, aby znaleźć funkcję odwrotną algebraicznie:
Krok 1: Zamień f(x) na y
Zacznij od zapisania funkcji jako $y = f(x)$. Ułatwia to przekształcenia algebraiczne.
Krok 2: Zamień miejscami x i y
Zamień zmienne x i y w równaniu. To odwraca relację wejście-wyjście.
Krok 3: Wyznacz y
Użyj technik algebraicznych, aby wyznaczyć y po jednej stronie równania. Jest to często najtrudniejszy krok.
Krok 4: Zapisz w notacji funkcyjnej
Zamień y na $f^{-1}(x)$, aby poprawnie wyrazić funkcję odwrotną.
Krok 5: Zweryfikuj (Opcjonalnie)
Potwierdź swoją odpowiedź, sprawdzając, czy $f(f^{-1}(x)) = x$.
Popularne funkcje odwrotne
| Funkcja pierwotna $f(x)$ | Funkcja odwrotna $f^{-1}(x)$ |
|---|---|
| $f(x) = x + a$ | $f^{-1}(x) = x - a$ |
| $f(x) = ax$ | $f^{-1}(x) = \frac{x}{a}$ |
| $f(x) = ax + b$ | $f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$ |
| $f(x) = x^2$ (dla $x \geq 0$) | $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ |
| $f(x) = x^3$ | $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f^{-1}(x) = \ln(x)$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f^{-1}(x) = e^x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$ |
Kiedy funkcja ma odwrotność?
Nie wszystkie funkcje mają funkcje odwrotne. Funkcja ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa (zwana również iniekcją). Oznacza to, że każda wartość wyjściowa odpowiada dokładnie jednej wartości wejściowej.
Test prostej poziomej
Funkcja przechodzi test prostej poziomej, jeśli żadna pozioma linia nie przecina jej wykresu więcej niż raz. Jeśli funkcja przechodzi ten test, ma odwrotność.
- Funkcje liniowe (o niezerowym nachyleniu) są zawsze różnowartościowe
- Funkcje kwadratowe nie są różnowartościowe w zbiorze liczb rzeczywistych (nie przechodzą testu prostej poziomej)
- Funkcje ściśle monotoniczne (zawsze rosnące lub zawsze malejące) są różnowartościowe
Ograniczanie dziedziny
Gdy funkcja nie jest różnowartościowa, możemy ograniczyć jej dziedzinę, aby stała się różnowartościowa. Na przykład:
- $f(x) = x^2$ nie jest różnowartościowa, ale $f(x) = x^2$ dla $x \geq 0$ jest różnowartościowa z odwrotnością $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = \sin(x)$ nie jest różnowartościowa, ale $f(x) = \sin(x)$ dla $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ jest różnowartościowa z odwrotnością $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$
Przykłady
Przykład 1: Funkcja liniowa
Znajdź odwrotność $f(x) = 3x - 5$
Rozwiązanie:
- Zapisz jako $y = 3x - 5$
- Zamień: $x = 3y - 5$
- Wyznacz y: $x + 5 = 3y$, więc $y = \frac{x + 5}{3}$
- Zatem, $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$
Przykład 2: Funkcja wymierna
Znajdź odwrotność $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
Rozwiązanie:
- Zapisz jako $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
- Zamień: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
- Rozwiąż: $x(y + 2) = y - 1$, więc $xy + 2x = y - 1$
- Przekształć: $xy - y = -1 - 2x$, więc $y(x - 1) = -2x - 1$
- Zatem, $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$
Wskazówki dotyczące korzystania z kalkulatora
- Wprowadź funkcje używając x jako zmiennej
- Użyj * do mnożenia (np. 2*x zamiast 2x)
- Użyj ^ lub ** dla potęg (np. x^2 lub x**2)
- Użyj sqrt(x) dla pierwiastka kwadratowego
- Użyj log(x) dla logarytmu naturalnego
- Użyj exp(x) lub e^x dla funkcji wykładniczej
Często zadawane pytania
Co oznacza -1 w f^(-1)(x)?
-1 w $f^{-1}(x)$ nie jest wykładnikiem potęgi. Jest to notacja oznaczająca funkcję odwrotną. Nie należy jej mylić z $\frac{1}{f(x)}$, co jest odwrotnością wartości f(x).
Czy mogę znaleźć odwrotność dowolnej funkcji?
Nie wszystkie funkcje mają odwrotności. Tylko funkcje różnowartościowe mają funkcje odwrotne. Jeśli funkcja nie przechodzi testu prostej poziomej, nie ma odwrotności w całej swojej dziedzinie, ale można ograniczyć dziedzinę, aby stworzyć funkcję odwracalną.
Jak zweryfikować, czy moja odwrotność jest poprawna?
Aby zweryfikować, sprawdź, czy $f(f^{-1}(x)) = x$ oraz $f^{-1}(f(x)) = x$. Jeśli oba złożenia są równe x, twoja odwrotność jest poprawna.
Dodatkowe zasoby
Aby dowiedzieć się więcej o funkcjach odwrotnych:
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator funkcji odwrotnej" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
od zespołu miniwebtool. Zaktualizowano: 12 grudnia 2025
Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.