두 가지 매개변수화 방식의 차이점은 무엇인가요?

실패 횟수 방식은 r번째 성공 전까지의 실패 횟수만 계산하므로 X의 범위는 0부터 무한대까지입니다. 시행 횟수 방식은 성공과 실패를 모두 포함한 총 시행 횟수를 계산하므로 Y의 범위는 r부터 무한대까지입니다. 관계식은 Y = X + r입니다. 두 방식 모두 해당 값에 대해 동일한 확률을 제공합니다.

음이항분포 PMF 공식은 무엇인가요?

실패 횟수 방식에서의 확률 질량 함수는 P(X = k) = C(k + r - 1, r - 1) * p^r * (1 - p)^k 입니다. 여기서 r은 필요한 성공 횟수, p는 성공 확률, k는 실패 횟수입니다.

음이항분포는 기하분포와 어떤 관련이 있나요?

기하분포는 r이 1인 음이항분포의 특수한 경우입니다. 이는 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 모델링합니다. 일반적인 r을 가진 음이항분포는 r개의 독립적인 기하 확률 변수의 합으로 볼 수 있습니다.

음이항분포의 일반적인 용도는 무엇인가요?

목표 판매 건수를 달성하기 위해 필요한 영업 전화 횟수, r개의 양품을 찾기 전까지 검사한 불량품 수, 과산포가 있는 보험 청구 건수 모델링, 생태학적 종 풍부도 데이터, 고정된 수의 환자 반응이 필요한 임상 시험 모델링 등이 포함됩니다.

음이항분포 계산기

목표 성공 횟수를 달성하기 위해 필요한 시행 횟수 또는 실패 횟수를 모델링하기 위한 음이항분포 확률을 계산합니다. 정확한 PMF, CDF, 단계별 풀이, 대화형 차트 및 시행 시퀀스 시각화 자료를 제공합니다.

음이항분포 계산기

📌 시나리오 예시:

r — 필요한 성공 횟수 목표 성공 횟수 (r ≥ 1)

p — 성공 확률 시행당 확률 (0 < p ≤ 1)

k — 실패 횟수 r번째 성공 전까지의 실패 횟수 (k ≥ 0)

r은 양의 정수여야 합니다. p는 0(제외)에서 1(포함) 사이여야 합니다. k는 0 이상의 정수여야 합니다.

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음이항분포 계산기 정보

음이항분포 계산기는 목표 성공 횟수를 달성하기 전까지 필요한 실패 횟수(또는 총 시행 횟수)에 대한 정확한 확률을 계산합니다. 필요한 성공 횟수(r), 시행당 성공 확률(p), 목표 값(k)을 입력하여 점 확률 및 누적 확률, 단계별 풀이, 대화형 차트 및 시행 시퀀스 시각화를 확인하세요.

음이항분포란 무엇인가요?

음이항분포는 독립적인 베르누이 시행 시퀀스에서 지정된 횟수의 성공이 발생하기 전까지의 실패 횟수를 모델링하는 이산 확률 분포입니다. 각 시행은 동일한 성공 확률 p를 가집니다. "5번째 계약을 따내기 전까지 몇 번의 영업 전화 실패를 겪게 될까?" 또는 "양품 10개를 찾기 전까지 몇 개의 불량품을 검사하게 될까?"와 같은 질문에 답을 줍니다.

이 분포의 이름은 유도 과정에서 사용된 음이항 급수 전개에서 유래되었습니다. 이는 r = 1(성공 1회 필요)인 특수한 경우인 기하분포를 일반화한 것입니다.

두 가지 일반적인 매개변수화

음이항분포는 확률 변수가 무엇을 세느냐에 따라 두 가지 동등한 공식으로 나뉩니다.

실패 횟수 매개변수화 (X): X는 r번째 성공 전까지의 실패 횟수만을 셉니다. X는 0, 1, 2, 3, ...의 값을 가질 수 있습니다. PMF는 P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k 입니다.
시행 횟수 매개변수화 (Y): Y는 r번째 성공까지의 총 시행 횟수(성공과 실패 모두 포함)를 셉니다. Y는 r, r+1, r+2, ...의 값을 가질 수 있습니다. 관계식은 Y = X + r 입니다.

본 계산기는 두 방식 모두 지원합니다. 토글을 사용하여 k를 실패 횟수로 입력할지 총 시행 횟수로 입력할지 선택하세요.

음이항분포 PMF 공식

실패 횟수 매개변수화에서 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

여기서 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)는 이항 계수입니다. C(k + r − 1, r − 1) 항은 처음 k + r − 1번의 시행 동안 k번의 실패와 r − 1번의 성공을 배열하는 방법의 수를 셉니다(마지막 시행은 반드시 성공이어야 합니다). p^r 항은 r번 성공할 확률이며, (1 − p)^k 항은 k번 실패할 확률입니다.

평균, 분산 및 기타 통계량

매개변수 r과 p를 가진 음이항 확률 변수 X(실패 횟수 방식)의 경우:

평균: μ = r(1 − p) / p
분산: σ² = r(1 − p) / p²
표준편차: σ = √(r(1 − p) / p²)
최빈값: r > 1일 때 ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋; r = 1일 때 0
왜도: (2 − p) / √(r(1 − p))

시행 횟수 방식 Y = X + r의 경우, 평균은 r/p로 이동하며 분산은 동일하게 유지됩니다.

다른 분포와의 관계

기하분포: r = 1인 특수한 경우입니다. 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 모델링합니다.
이항분포: 이항분포는 시행 횟수를 고정하고 성공 횟수를 세는 반면, 음이항분포는 성공 횟수를 고정하고 시행/실패 횟수를 셉니다.
포아송 분포: 음이항분포는 포아송-감마 혼합분포로 볼 수 있습니다. r(1 − p)/p를 일정하게 유지하면서 r → ∞, p → 1일 때 음이항분포는 포아송 분포에 수렴합니다.

일반적인 응용 사례

영업 및 마케팅 — 알려진 전환율이 있을 때, 목표 계약 건수를 달성하기 전까지 영업 사원이 몇 번이나 전화를 해야 할까요?
품질 관리 — 목표한 수량의 합격품을 찾기 위해 몇 개의 제품을 검사해야 할까요?
임상 시험 — 목표한 수의 긍정적인 반응을 얻기 위해 얼마나 많은 환자를 등록해야 할까요?
보험 — 분산이 평균보다 큰 경우(포아송 대비 과산포)의 청구 건수 모델링.
생태학 — 포아송 모델이 허용하는 것보다 더 큰 변동성을 보이는 종 풍부도 데이터 모델링.
스포츠 분석 — 선수가 목표한 득점 횟수에 도달하기까지 얼마나 많은 슛이나 시도를 해야 할까요?

이 계산기 사용 방법

달성하고자 하는 성공 횟수 r을 입력하세요 (r ≥ 1).
각 시행에서의 성공 확률 p를 입력하세요 (0 < p ≤ 1).
입력 모드를 선택하세요: k가 실패 횟수인지 총 시행 횟수인지 결정합니다.
확률을 찾고자 하는 특정 값 k를 입력하세요.
"확률 계산하기"를 클릭하여 정확한 확률과 누적 확률, 단계별 조합 풀이, 시행 시퀀스 시각화, PMF/CDF 차트 및 전체 분포표를 확인하세요.

자주 묻는 질문

음이항분포와 이항분포의 차이점은 무엇인가요?

이항분포는 시행 횟수를 고정하고 무작위적인 성공 횟수를 셉니다. 음이항분포는 성공 횟수를 고정하고 무작위적인 시행 횟수(또는 실패 횟수)를 셉니다. 이항분포가 "n번 시행 중 성공이 몇 번일까?"를 묻는다면, 음이항분포는 "r번 성공할 때까지 시행을 몇 번 해야 할까?"라고 묻습니다.

포아송 분포 대신 음이항분포를 언제 사용해야 하나요?

데이터가 과산포(overdispersion)를 보일 때, 즉 분산이 평균보다 클 때 음이항분포를 사용하세요. 포아송 분포는 평균과 분산이 같다고 가정합니다. 음이항분포는 분산이 평균을 초과할 수 있도록 하는 추가 매개변수가 있어 많은 실제 데이터셋에 더 잘 맞습니다.

r = 1은 무엇을 의미하나요?

r = 1일 때 음이항분포는 기하분포가 되며, 이는 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 모델링합니다. 예를 들어, 첫 번째 앞면이 나오기 전까지 뒷면이 나오는 횟수와 같습니다.

p가 0이나 1이 될 수 있나요?

확률 p는 반드시 0보다 커야 합니다. p = 0이면 성공이 불가능하므로 무한한 시행이 필요합니다. p = 1이면 모든 시행이 성공이므로 실패 횟수는 항상 0이며 분포가 축퇴됩니다(모든 확률이 k = 0에 집중됨). 본 계산기는 p = 1을 특수한 경우로 수용합니다.

회귀 분석에서 음이항분포는 어떻게 사용되나요?

음이항 회귀는 포아송 회귀의 일반화된 형태로, 카운트 데이터가 과산포를 보일 때 사용됩니다. 이는 조건부 분산이 조건부 평균을 초과할 수 있게 하는 분산 매개변수를 추가합니다. 일반적인 응용 분야로는 병원 방문 횟수, 교통 사고 빈도, 종 풍부도 데이터 모델링 등이 있습니다.

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miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-14

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