定義域と値域電卓
無料のオンラインツール「定義域と値域電卓」へようこそ。代数関数の定義域と値域を求めるのに役立ちます。関数について学んでいる学生、試験勉強中の方、例題を作成する先生など、どなたでも、わかりやすい区間表記の結果とステップバイステップの解析をご利用いただけます。
関数の定義域とは？
関数の定義域（ドメイン）とは、その関数が有効な出力を生成するすべての可能な入力値（通常はxの値）の集合です。言い換えれば、数学的なエラーを引き起こさずに関数に代入できるすべてのxの値を表します。
定義域を制限する一般的な要因は以下の通りです：
- ゼロ除算： 分数の分母はゼロになってはいけません
- 負の数の平方根： 実数の範囲では、偶数乗根の中身は非負である必要があります
- 対数： 対数の真数（引数）は正である必要があります
- 逆三角関数： 入力に特定の制限があります
関数の値域とは？
関数の値域（レンジ）とは、その関数が生成しうるすべての出力値（通常はyの値）の集合です。これは、xが定義域全体を動くときに f(x) が実際に取り得るすべての値を表します。
値域を求めるには、しばしば以下の分析が必要です：
- 最大値と最小値： 出力の最大値と最小値は何か？
- 漸近的な挙動： xが無限大や特定の値に近づくとき、何が起こるか？
- 関数の変換： 平行移動や拡大縮小が出力にどう影響するか
一般的な関数の種類と定義域・値域
| 関数の種類 | 一般形 | 定義域 | 値域 |
|---|---|---|---|
| 一次関数 | $f(x) = mx + b$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 二次関数 | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[k, +\infty)$ または $(-\infty, k]$ |
| 平方根関数 | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ |
| 有理関数 | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ |
| 対数関数 | $f(x) = \log(x)$ | $(0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 指数関数 | $f(x) = e^x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| 正弦関数 | $f(x) = \sin(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ |
定義域の求め方 - ステップバイステップ
ステップ1：制限の可能性を特定する
入力に制限がある演算を探します：
- 分数 - 分母はゼロになってはいけません
- 偶数乗根（平方根、4乗根など） - 根号の中身は非負である必要があります
- 対数 - 真数は正である必要があります
ステップ2：制限される値を解く
特定された各制限について、方程式または不等式を解き、除外すべき値を求めます。
ステップ3：区間表記で定義域を書く
制限された値を除外し、区間表記を使用して定義域を表します。開区間（値を含まない）には丸括弧 ( ) を、閉区間（値を含む）には角括弧 [ ] を使用します。
例題
例1：有理関数
$f(x) = \frac{1}{x-2}$ の定義域を求める
解答： 分母 $x-2 = 0$ となるのは $x = 2$ のときです。したがって、定義域は $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ となり、これは2を除くすべての実数を意味します。
例2：平方根関数
$f(x) = \sqrt{x-3}$ の定義域を求める
解答： 根号の中身 $x-3 \geq 0$ より、$x \geq 3$ となります。定義域は $[3, +\infty)$ です。
例3：対数関数
$f(x) = \log(x+1)$ の定義域を求める
解答： 真数 $x+1 > 0$ より、$x > -1$ となります。定義域は $(-1, +\infty)$ です。
区間表記ガイド
- $(a, b)$ - 開区間：aとbの間のすべての数（aとbを含まない）
- $[a, b]$ - 閉区間：aとbの間のすべての数（aとbを含む）
- $(a, b]$ - 半開区間：bを含み、aを含まない
- $[a, b)$ - 半開区間：aを含み、bを含まない
- $(-\infty, a)$ - aより小さいすべての数
- $(a, +\infty)$ - aより大きいすべての数
- $\cup$ - 和集合記号：2つ以上の区間を結合する
この計算機の使い方
- 変数は x を使用して関数を入力してください
- 指数には ^ または ** を使用してください（例：x^2 または x**2）
- 平方根には sqrt(x) を使用してください
- 自然対数には log(x) を使用してください
- 三角関数には sin(x), cos(x), tan(x) を使用してください
- 指数関数には exp(x) または e^x を使用してください
よくある質問（FAQ）
定義域が空集合になる関数はありますか？
はい、関数が定義される実数xの値が存在しない場合、定義域は空集合になります。例えば、$f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ は $-x^2-1$ が常に負であるため、実数の定義域を持ちません。
定義域と値域の違いは何ですか？
定義域はすべての可能な入力値（x値）を指し、値域はすべての可能な出力値（y値）を指します。定義域は「関数に入れられるもの」、値域は「得られる結果」と考えるとよいでしょう。
なぜ無限大は丸括弧で表記されるのですか？
無限大は到達したり含めたりできる実数ではないため、常に丸括弧で表記されます。私たちは無限に近づくことはできますが、区間内に実際に含めることはできません。
追加リソース
関数の定義域と値域についてさらに詳しく学ぶ：
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"定義域と値域電卓"（https://MiniWebtool.com/ja//） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
作成：MiniWebToolチーム。更新日：2025年12月11日
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