传说当卡尔·弗里德里希·高斯还只是个小学生时，他的老师要求全班计算从 1 到 100 的所有数字之和，希望以此让他们忙碌。年幼的高斯立刻写下了 5050，因为他意识到将首尾两端的数字配对（1+100, 2+99, 3+98...）每一对的和都是 101，而这样的配对共有 50 对。
— 卡尔·弗里德里希·高斯，约 1786 年
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连续数之和计算器
欢迎使用连续数之和计算器，这是一个优雅的工具，使用著名的高斯求和公式计算连续正整数之和。无论您是需要计算前 n 个自然数之和，还是计算任何连续整数范围之和，本计算器都能通过分步数学解释和视觉表示提供即时结果。
高斯求和公式
使用传奇数学家卡尔·弗里德里希·高斯发现的公式，可以立即计算出连续正整数之和。这些公式将原本繁琐的加法转变为优雅的乘法。
前 n 个正整数之和
高斯公式
$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
从 n₁ 到 n₂ 的连续整数之和
通用公式
$$n_1 + (n_1+1) + \cdots + n_2 = \frac{n_2(n_2+1)}{2} - \frac{(n_1-1)n_1}{2}$$
也可以写成：
替代形式
$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k = \frac{(n_2 - n_1 + 1)(n_1 + n_2)}{2}$$
年轻高斯的故事
理解公式
视觉证明：配对法
考虑求和 1 + 2 + 3 + 4 + 5：
- 将首尾配对：1 + 5 = 6
- 将次首次尾配对：2 + 4 = 6
- 中间的数字：3（半对）
每一对的和为 (n + 1)。有 n/2 对，总和为 n(n+1)/2 = 5×6/2 = 15。
代数证明
将总和写两次，正序和倒序：
S = 1 + 2 + 3 + ... + n
S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1
将两个等式相加：2S = (n+1) + (n+1) + ... = n(n+1)
因此：S = n(n+1)/2
如何使用此计算器
- 输入起始数字 (n₁)： 输入序列的第一个正整数。使用 1 计算前 n 个自然数之和。
- 输入结束数字 (n₂)： 输入最后一个正整数。这必须大于 n₁。
- 点击计算： 计算器将显示总和，以及分步分解、视觉图表和关于序列的其他统计信息。
实际应用
计算机科学
计算循环迭代、数组索引和算法复杂度。求和公式有助于分析嵌套循环的时间复杂度。
物理学
计算在匀加速运动下的总位移，或求量子系统中的离散能级之和。
金融
在金融建模中计算累计付款、复利模式和算术增长序列。
组合数学
计算人群中的握手次数、完全图中的边数或数学序列中的三角形数。
相关数学概念
三角形数
前 n 个正整数之和产生了三角形数：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... 这些数字代表可以排列成等边三角形的物体数量。
等差数列
连续整数形成公差 d = 1 的等差数列。等差数列的通用求和公式为 S = n(a₁ + aₙ)/2，当 d = 1 时简化为我们的公式。
求和符号
在数学符号中，从 1 到 n 的整数之和写作：
Sigma 符号
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$
常见问题解答
前 n 个正整数之和的公式是什么？
前 n 个正整数（1 + 2 + 3 + ... + n）之和等于 n(n+1)/2。这个优雅的公式归功于数学家卡尔·弗里德里希·高斯，它允许在不逐个相加的情况下进行即时计算。例如，1 到 100 之和为 100 × 101 / 2 = 5050。
如何计算从 n₁ 到 n₂ 的连续整数之和？
要计算从 n₁ 到 n₂ 的连续整数之和，请使用公式：n₂(n₂+1)/2 - (n₁-1)n₁/2。或者，计算 (n₂ - n₁ + 1) × (n₁ + n₂) / 2，即将数字个数乘以它们的平均值。
谁发现了整数求和公式？
公式 n(n+1)/2 被著名地归功于卡尔·弗里德里希·高斯，据报道他在上学时就发现了这个公式。当被要求计算 1 到 100 之和时，年幼的高斯将数字配对（1+100, 2+99 等），意识到每一对的和都是 101，共有 50 对，得出 5050。
什么是等差数列？
等差数列是一系列数字，其中每一项与前一项的差是一个常数，称为公差。对于连续的正整数，这个公差为 1。求和公式之所以有效，是因为连续整数形成了一个完美的等差数列。
计算连续整数之和有哪些实际应用？
计算连续整数之和在计算机科学（数组索引、循环计算）、物理学（计算匀加速运动的总距离）、金融（复合增长模式）、组合数学（计数排列）以及日常生活（如统计编号物品或计算累积得分）中都有应用。
其他资源
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由 miniwebtool 团队。更新日期：2026年1月13日
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