概率分布计算器

欢迎使用概率分布计算器，这是一个全面的统计工具，用于计算各种概率分布的概率、累积概率 (CDF) 和分位数（逆 CDF）。无论您是学习统计学的学生、分析数据的研究人员，还是处理统计模型的专业人士，本计算器都能提供详细的分步解决方案和交互式可视化，帮助您深入理解概率分布。

支持的概率分布

本计算器支持七种常用的概率分布，每种分布都适用于不同类型的随机现象：

理解 PDF、CDF 和分位数函数

概率密度/质量函数 (PDF/PMF)

PDF（用于连续分布）或 PMF（用于离散分布）给出随机变量取特定值的相对可能性。对于连续分布，PDF 值本身不是概率而是密度——概率是通过对 PDF 在某个区间内进行积分得到的。

累积分布函数 (CDF)

CDF（记作 F(x)）给出随机变量 X 小于或等于数值 x 的概率。写作 P(X ≤ x)。随着 x 的增加，CDF 总是从 0 增加到 1。

分位数函数 (逆 CDF)

分位数函数（也称为百分点函数或逆 CDF）用于寻找满足 P(X ≤ x) = p 的值 x。它回答了：“分布中只有 (1-p)×100% 的值超过了哪个数值？”这对于在假设检验中寻找临界值至关重要。

分布公式

正态分布

正态分布（高斯分布）是对称的钟形分布，以均值 μ（中心）和标准差 σ（离散程度）为特征。

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• 分位数: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

二项分布

模拟 n 次独立试验中的成功次数，每次试验的成功概率为 p。

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

泊松分布

当事件以恒定的平均速率 λ 发生时，模拟固定时间间隔内的事件数量。

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

指数分布

模拟具有比率 λ 的泊松过程中事件之间的时间间隔。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) （对于 x ≥ 0）
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• 分位数: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

卡方分布

在统计学中作为标准正态变量的平方和出现。用于方差的假设检验和置信区间。

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) （对于 x > 0）

Student's t 分布

与正态分布相似，但尾部更厚。当样本量较小或总体方差未知时，用于对总体均值进行推断。

• PDF: \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

如何使用本计算器

1. 选择分布： 点击与您的数据或问题匹配的分布卡片。每张卡片都显示了分布类型（连续型或离散型）。
2. 选择计算类型： 选择 PDF/PMF 用于计算某点的概率，CDF 用于计算累积概率，或分位数用于根据给定概率查找对应数值。
3. 输入参数： 输入分布参数。表单会根据您选择的分布动态显示相关的参数。
4. 输入数值或概率： 对于 PDF/CDF，输入 x 值（离散分布输入 k）。对于分位数，输入 0 到 1 之间的概率。
5. 查看结果： 查看计算出的结果、分步数学推导过程以及交互式分布可视化图表。

常见问题解答

什么是概率分布？

概率分布是一个数学函数，描述了随机变量不同可能结果出现的可能性。它可以是离散的（如二项分布或泊松分布），用于可计数的结局；也可以是连续的（如正态分布或指数分布），用于在某个范围内可以取任何值的结果。

PDF 和 CDF 之间有什么区别？

PDF（概率密度函数）或 PMF（概率质量函数）给出特定点的概率密度。对于离散分布，PMF 给出精确概率 P(X=k)。CDF（累积分布函数）给出随机变量小于或等于某个值的概率：P(X≤x)。CDF 是 PDF/PMF 的累积和或积分。

什么时候应该使用正态分布？

正态分布适用于围绕平均值对称分布的连续数据。它常用于描述身高、测试分数、测量误差和许多生物变量等现象。中心极限定理指出，无论总体分布如何，样本均值都趋于正态分布。

什么是分位数函数？

分位数函数（也称为逆 CDF 或百分点函数）用于在给定概率 p 的情况下，找到满足 P(X≤x) = p 的值 x。例如，分布的第 95 百分位数 (p=0.95) 是指有 95% 的观测值低于该值。

如何选择不同的分布？

根据数据特征选择：正态分布用于对称的连续数据；二项分布用于固定试验次数中的成功次数；泊松分布用于固定间隔内的稀有事件计数；指数分布用于事件之间的时间；均匀分布用于范围内概率均等的情况；卡方分布用于方差检验；Student's t 分布用于总体方差未知的小样本。

更多资源

• 概率分布 - 维基百科
• 正态分布 - 维基百科
• 统计与概率 - 可汗学院