简化您的工作流程：搜索 miniwebtool。
添加插件
你可能也用得上
拓扑排序计算器伯努利方程计算器数字提取器IPv4/IPv6到十六进制转换器
主页 > 数学 > 进阶数学计算 > 网络最大流计算器
 

网络最大流计算器

使用 Ford-Fulkerson 方法 (Edmonds-Karp 算法) 计算有向网络中从源点到汇点的最大流。动态演示每条增广路径，显示残留容量、饱和边以及证明最优性的最小割划分。

网络最大流计算器
快速示例：
教科书示例 (6 节点) 小型网络 经典 CLRS 类二分图 矩阵输入
边格式：A -> B : 10（箭头加容量），或 A, B, 10。 矩阵格式：每行输入一个矩阵行，C[i][j] 是边 i → j 的容量（无边使用 0）。对角线必须为 0。
以逗号或空格分隔的标签，对应每个矩阵行。默认为 S, A, B, …, T。

Embed 网络最大流计算器 Widget

网络最大流计算器

网络最大流计算器用于计算任何带容量的有向网络中从选定源点 s 到选定汇点 t 的最大流。在底层，它运行 Ford-Fulkerson 方法和广度优先增广路径（即 Edmonds-Karp 算法），并记录找到的每一条路径，以便您可以逐次迭代回放整个决策过程。结果页面还会显示最小割 —— 这是证明您的流值真正达到最优的瓶颈划分。

什么是最大流问题？

流网络是一个有向图 G = (V, E) 以及容量函数 c: E → ℝ≥0。其中有两个特殊的顶点：源点 s（流的起点）和汇点 t（流的终点）。流 f 是分配给各条边且满足以下条件的赋值 f(u, v) ≥ 0：

容量限制： 0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v) 对于每一条边 (u, v) 流量守恒： Σ f(w, v) = Σ f(v, w) 对于每一个 v ∈ V \ {s, t} 流值大小： |f| = Σ f(s, w) − Σ f(w, s) (离开 s 的净流量)

最大流问题是寻找使 |f| 最大化的流 f。直观理解：如果边是具有给定容量的水管，您每秒可以从 s 运送到 t 多少升水？

算法原理 — 带 BFS 的 Ford-Fulkerson

该算法在维护当前流量的同时维护一个残余图。对于每一条容量为 c 且当前流量为 f 的边 (u, v)，残余图包含：

在每次迭代中，它都会在残余图上执行从 s 到 t 的广度优先搜索 (BFS)。如果找到路径，则该路径上最小的边容量 —— 即瓶颈 —— 会被加到路径上每条正向边的流量中，并从每条反向边的流量中减去。这被称为增广路径。当 BFS 无法再到达 t 时，当前流量即为最优解。

当 残余图中存在从 s 到 t 的增广路径 P 时： b ← 路径 P 中所有边 (u, v) 的最小残余容量 c_residual(u, v) 沿路径 P 推送 b 单位流量 // 更新残余图 + 流量 返回总流量 |f|

使用 BFS（而非任意路径查找策略）将 Ford-Fulkerson 算法转变为 Edmonds-Karp 算法，其保证运行时间为 O(V · E²)。它还保证了在无理数容量情况下的终止，而普通 Ford-Fulkerson 则不能保证。

最大流最小割定理

割是将顶点划分为两个集合 (S, T) 的划分，其中 s ∈ S 且 t ∈ T。它的容量是从 S 到 T 的边的容量之和：

cap(S, T) = Σ c(u, v) 对于 u ∈ S, v ∈ T

最大流最小割定理 (Ford & Fulkerson, 1956) 指出：

最大流的值 = 最小割的容量

该工具会自动寻找最小割。在 Edmonds-Karp 算法终止后，它会在残余图上从 s 开始执行最后一次 BFS；到达的顶点形成 S，其余形成 T，原始图中所有从 S → T 跨越的边均已饱和。它们的容量总和恰好等于最大流值 —— 在结果顶部的“最小割容量 ✓ 验证了最优性”中可见。

专为学习设计的功能

输入格式

1. 带容量的边列表

每行一条边。箭头形式最易读，但也支持其他替代方案：

S -> A : 10 S -> B : 13 A -> B : 10 B -> A : 4 B -> T : 14

同时接受：A, B, 10 · A B 10 · A -> B , 10。同一对顶点之间的多条边将被累加。

2. 容量矩阵

每行输入一行数据，值之间用空格或逗号分隔。条目 C[i][j] 是从顶点 i 到顶点 j 的边的容量。无边请使用 0。矩阵必须是方阵，且对角线必须为 0（不允许自环）。

S A B C D T S [ 0 10 0 10 0 0 ] A [ 0 0 4 2 8 0 ] B [ 0 0 0 0 0 10 ] C [ 0 0 0 0 9 0 ] D [ 0 0 6 0 0 10 ] T [ 0 0 0 0 0 0 ]

在矩阵标签字段输入对应的顶点标签（用逗号或空格分隔）。如果省略，标签默认为 S, A, B, …, T。

最大流的应用

领域最大流的用途
交通与物流铁路/公路/管道网络每天从起点到终点可以运送多少货物？
二分图匹配将工作分配给工人，将学生分配给项目。单位容量的最大流即为最大匹配。
图像分割计算机视觉中的 Boykov–Kolmogorov 最小割算法用于分离前景和背景像素。
网络可靠性最小割可以识别最薄弱的环节，这些环节的失效会导致网络断开。
项目调度闭包问题和选择问题可以归约为最小割问题。
棒球淘汰分析确定一支球队是否在数学上已经失去了夺冠的可能性。

操作实例

“教科书”快速示例编码了一个具有源点 S 和汇点 T 的 6 节点网络。运行 Edmonds-Karp 算法会产生四条增广路径：

  1. S → A → B → T，瓶颈为 4（边 A-B 是限制因素）。当前总流量：4。
  2. S → A → D → T，瓶颈为 6。当前总流量：10。
  3. S → C → D → T，瓶颈为 4（边 D-T 现在是限制因素，仅剩 4 个单位）。当前总流量：14。
  4. S → C → D → B → T，瓶颈为 5。当前总流量：19。

算法停止 —— 不再存在增广路径。最小割为 (S = {S, C}, T = {A, B, D, T})，跨越边为 S → A (容量 10) 和 C → D (容量 9)，总和为 19 —— 正好等于最大流值。

如何使用此计算器

  1. 选择输入格式（使用选项卡） —— 边列表（推荐）或容量矩阵。
  2. 输入您的网络。 您可以从快速示例开始并进行修改。对于矩阵输入，如果您想要 S, A, B, …, T 以外的名称，请提供标签。
  3. 指定源点和汇点（或留空以自动检测 S 和 T）。
  4. 点击计算最大流。 结果页面显示最大流值、最小割划分、分层图可视化、每条增广路径、边利用率表以及三个矩阵（容量、流量、残余）。
  5. 播放图表下方的动画来回放算法的决策。点击任何增广路径步骤可直接跳至该步骤。

限制

常见问题解答

什么是最大流问题？

给定一个有向网络，其中每条边都有一个非负容量，最大流问题是问：在满足每条边的流量不能超过其容量，且进入每个非源、非汇顶点的流量必须等于离开它的流量的规则下，从指定的源点 s 到指定的汇点 t 可以推送多少流量？答案被称为最大流值。

什么是 Ford-Fulkerson 方法？

Ford-Fulkerson 是计算最大流的一种通用技术。它在残余图中反复寻找从源点到汇点的增广路径，并沿该路径推送尽可能多的流量（瓶颈容量），然后更新残余图。当不存在增广路径时，程序终止。当使用广度优先搜索进行路径选择时，它被称为 Edmonds-Karp 算法，运行时间为 O(V · E²)。

流网络的最小割是什么？

割是将顶点划分为两个集合 S 和 T，使得源点在 S 中，汇点在 T 中。割的容量是从 S 到 T 的边的容量之和。最小割是容量最小的割。著名的最大流最小割定理证明了最大流值始终等于最小割容量，因此找到其中一个也就免费得到了另一个。

什么是残余图？

残余图跟踪每条边还可以推送多少流量。对于容量为 c 且当前流量为 f 的原始边 (u, v)，残余图包含一条正向边 (u, v) 与容量 c 减 f（剩余容量），以及一条反向边 (v, u) 与容量 f（可取消流量）。增广路径使用残余图中的边，使算法能够撤回之前的决定。

为什么该工具使用 BFS 寻找增广路径？

使用广度优先搜索 (Edmonds-Karp) 选择增广路径可以保证无论边容量如何，都能在多项式时间内终止。使用任意路径查找策略的普通 Ford-Fulkerson 在病态输入上可能会循环指数次迭代，在无理数容量上甚至可能永远不会终止。BFS 还会产生最短增广路径，更易于阅读和分析。

饱和边意味着什么？

当一条边的流量等于其容量时，该边即为饱和，这意味着无法再在其上推送更多流量。饱和边是网络的瓶颈，每个最小割完全由从割的 S 侧到 T 侧的饱和边组成。该工具用红色突出显示饱和边，让您一眼就能看到瓶颈结构。

延伸阅读

引用此内容、页面或工具为：

"网络最大流计算器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/网络最大流计算器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 团队制作。更新于：2026年4月22日

您还可以尝试我们的 AI数学解题器 GPT，通过自然语言问答解决您的数学问题。

进阶数学计算:

常用工具:

职位查找器MAC地址查找随机信用卡生成器彩票号码生成器音频提取器网址提取器英尺英寸转换为厘米相对标准偏差计算器太阳、月亮与上升星座计算器 🌞🌙✨CAGR计算器随机扑克牌生成器SRT转为TXT工具🎮 游戏灵敏度转换器MAC地址生成器🌡️ 体感温度计算器百分比折扣计算器图片打码工具比例计算器厘米到英尺和英寸转换器按字母顺序排序HEX计算器样本量计算器Instagram用户ID查询斜边计算器商和余数计算器定期存款计算器音频分割器cpm计算器质数检查器VAT计算器农历转换器太阳位置计算器FPS 转换器调整视频速度毛利率计算器合并视频罗马数字转换器随机IMEI生成器kg到lbs转换器📅 日期差计算器随机字符串生成器磅转千克转换器Log Base 10 计算器srt时间偏移Facebook用户ID查询血糖转换器真心话大冒险生成器随机选择器One Rep Max (1RM) 计算器视频转图片提取器位数计算器百分比到ppm转换器分数计算器L-System分形生成器极坐标方程绘图器JPG 转 PDF对数计算器为图片添加文字年度天数计算器 - 今天是今年的第几天随机化数字月相计算器🖱️ 点击计数器翻转视频PSI 转 Bar 转换器WHOIS查询指数计算器（高精度）根式化简器卡方检验计算器合并 PDF沸点计算器半衰期计算器年金现值计算器随机扑克手牌生成器kpa到psi转换器卧推计算器两点间距离计算器旋转视频骰子滚轮复数计算器开普勒第三定律计算器AI故事生成器MD5哈希生成器Zalgo文本生成器考拉兹猜想计算器黄金时刻和蓝调时刻计算器SHA256 哈希生成器📅 日期计算器为视频添加水印凯利公式计算器双曲函数计算器密码强度测试器积分计算器压缩 PDF圆计算器毫米到英寸转换器随机域名生成器随机日期生成器🥧 饼图制作工具磅到克转换器t检验计算器惯性矩计算器百分比增长率计算器颜料调色计算器不可见字符移除器图片分割器随机超能力生成器跑步年龄分级计算器退休倒计时拆分 PDF数字提取器最简分数计算器箱线图生成器随机数字选择器图着色计算器散点图制作器加价率计算器密码生成器平方根计算器最小公倍数计算器ASCII码表日历三角函数绘图器百分比变化计算器螺栓扭矩计算器迷宫生成器原根计算器圆锥展开图模板生成器英寸到厘米转换器八进制计算器利率计算器发音音标转换器📈 折线图制作工具死链检查器百分比增加计算器随机问题生成器体脂百分比计算器闰年清单反向文字多项式展开计算器相关系数计算器行数统计工具逻辑门模拟器SRT合并工具Voronoi 图生成器图片旋转器在线记事本每个月的天数配色方案生成器随机装备生成器csv转srt电视安装高度计算器百分比减少计算器相同字母异序词生成器组合计算器质数列表镶嵌图案生成器随机锦标赛对阵生成器隐形文本生成器DOY日历psi到kpa转换器YouTube Shorts收益计算器⏱️ 倒计时器删除线文字生成器反函数计算器反正切计算器复利储蓄计算器平均值计算器我的幸运数字是什么椭圆周长计算器楼梯计算器💧 露点计算器黄金分割计算器MAC 地址分析工具二选一问题生成器倒立文本生成器儒略日转换器变异系数计算器AI Token 计数器AI标点符号添加器AI解梦Bar to PSI 转换器RC时间常数计算器中位数计算器二进制计算器圆台计算器复利计算机泰勒级数计算器英尺到米转换器视频压缩器角速度计算器随机坐标生成器随机颜色生成器高斯分布生成器亚马逊 FBA 计算器十六进制转CMYK转换器排序数字日复利计算器百分比计算器自行车尺寸计算器随机RPG角色生成器Twitter (X) 视频转换器游戏昵称生成器团队名称生成器昵称生成器说唱艺名生成器乐队名称生成器奇幻名字生成器幸运饼干生成器绘画创意生成器日记提示生成器每日肯定语生成器赞美生成器搭讪台词生成器老爸笑话生成器随机笑话生成器随机冷知识生成器趣味问答题生成器猜词游戏单词生成器你画我猜词语生成器猜词游戏生成器破冰问题生成器我从来没有生成器AI感谢信生成器AI婚礼致辞生成器AI新闻稿生成器AI产品描述生成器AI视频脚本生成器AI YouTube标题和描述生成器AI Instagram标题生成器AI LinkedIn标题和简介生成器AI简历要点生成器AI求职信生成器AI说唱歌词生成器PDF展平工具PDF解锁-移除所有者密码PDF转文本提取器提取PDF页面PDF 字数统计PDF加密给PDF添加页码重新排序 PDF 页面删除 PDF 页面旋转 PDFPDF 转 JPGPT转PX转换器PX转REM转换器托拉转克转换器印度土地单位转换器微克转毫克转换器AI歌词生成器AI诗歌生成器AI翻译器AI文本摘要工具毫克到毫升转换器英里每小时转公里每小时转换器节到英里每小时转换器立方米转立方英尺立方英尺转立方码转换器平方英尺转平方米转换器平方米转平方英尺转换器盎司转毫升转换器毫升转盎司转换器加仑转升转换器升到加仑转换器千克到英石转换器英石转千克转换器英寸到毫米转换器英里转千米转换器千米转英里转换器华氏度到摄氏度转换器摄氏度转华氏度转换器背包尺寸计算器冲浪板体积计算器网球握把尺寸计算器头盔尺寸计算器手套尺寸计算器帽子尺码转换器单板滑雪板尺寸计算器双板滑雪板尺寸计算器速通分段计时器斯特伯福计分计算器飞镖残局计算器板球投球经济率计算器板球击球率计算器净得分率计算器KD比率计算器Elo 等级分计算器心率恢复计算器徒步时间计算器划船配速计算器FTP功率区间计算器Beep 测试计算器ACFT分数计算器Wilks & DOTS 计算器轮毂偏距计算器轮胎负荷指数与速度等级查询每英里成本计算器租赁买断计算器辛烷值混合计算器二冲程机油混合计算器发动机排量计算器沙发过门计算器木柴考得计算器空气净化器CADR计算器除湿机尺寸计算器吊扇尺寸计算器窗帘尺寸计算器地毯尺寸计算器挂画高度计算器电视尺寸计算器池塘容积和衬垫计算器泳池盐量计算器泳池容积计算器热水器尺寸计算器环氧树脂计算器栏杆立柱间距计算器踢脚线和装饰线条计算器壁板计算器露台木器染色剂计算器草籽计算器草皮计算器沥青计算器立方码计算器天线长度计算器电线管填充率计算器串联并联电容计算器感抗计算器房间照明计算器勒克斯转流明计算器流明转瓦特转换器发电机功率计算器mah到wh转换器三相功率计算器kVA计算器安培转瓦特计算器瓦特转安培计算器串联电阻计算器摩擦力计算器斜面计算器机械效益计算器声速计算器波速计算器浮力计算器终端速度计算器德布罗意波长计算器光子能量计算器emc2计算器时间膨胀计算器逃逸速度计算器万有引力计算器比尔-朗伯定律计算器能斯特方程计算器渗透压计算器沸点升高计算器凝固点降低计算器百分比组成计算器当量浓度计算器质量摩尔浓度计算器pKa到Ka转换器亨德森-哈塞尔巴尔赫计算器理论产量计算器限制反应物计算器电子排布计算器交互式元素周期表AI教案生成器AI测验生成器引用生成器 (APA/MLA/Chicago)出勤率计算器AP分数计算器ACT分数计算器SAT分数计算器youtube收益估算器