比例置信区间计算器

欢迎使用 比例置信区间计算器。这是一个全面的统计工具，用于计算具有两个结果（成功/失败、是/否等）的分类数据的置信区间。本计算器提供传统的 Wald 方法（正态近似）和更准确的 Wilson score 方法，并配有详细的分步解决方案和视觉图示。

什么是比例置信区间？

比例置信区间 (CI) 根据样本数据为真实的总体比例提供了一个合理的取值范围。当您在 n 次试验中观察到 x 次成功时，样本比例 p̂ = x/n 是您的点估计值。然而，由于抽样变异性，真实的总体比例 p 可能与 p̂ 不同。置信区间量化了这种不确定性。

例如，如果您调查了 500 名选民，其中 275 人偏好候选人 A（p̂ = 0.55 或 55%），那么 95% 的置信区间可能是 (0.506, 0.594)。这意味着您可以有 95% 的把握确定偏好候选人 A 的全体选民真实比例在 50.6% 到 59.4% 之间。

计算方法

Wald 方法（正态近似）

Wald 方法是大多数统计学课程中讲授的传统方法。它使用二项分布的正态近似：

其中：

• p̂ = 样本比例 (x/n)
• z* = 标准正态分布的临界值
• n = 样本量

优点： 计算简单易懂。局限性： 对于小样本或 p 接近 0 或 1 时结果可能较差；可能会产生超出 [0,1] 范围的边界值。

Wilson Score 方法

Wilson score 区间提供了更好的覆盖概率，特别是对于小样本或极端比例：

优点： 适用于所有样本量，覆盖概率更好；永远不会产生超出 [0,1] 的边界；推荐用于小样本和极端比例。局限性： 公式稍微复杂一些。

如何选择方法

理解置信水平

置信水平（通常为 90%、95% 或 99%）代表在重复抽样中，该方法生成的区间包含真实参数的频率：

如何使用此计算器

1. 输入成功次数 (x)： 您正在测量的具有特定特征的结果计数
2. 输入样本量 (n)： 观察的总次数
3. 选择置信水平： 根据您所需的确定性进行选择（95% 最常见）
4. 选择方法： 选择 Wald、Wilson 或“两者”进行对比
5. 查看结果： 检查区间、可视化图表、解释说明和分步解答

实际应用

调查研究

在进行民意调查或调查时，置信区间有助于传达结果的精确度。如果民调显示支持率为 52%，误差幅度为 ±3%，则意味着 95% 的置信区间约为 (49%, 55%)。

医学研究

临床试验使用置信区间来报告治疗成功率。如果一种新药显示出 85% 的有效率，且 95% 置信区间为 (78%, 92%)，这提供了真实有效率可能在此范围内的证据。

质量控制

制造过程使用置信区间来监测缺陷率。如果在 200 个项目中发现 5 个缺陷 (2.5%)，则 Wilson 95% 置信区间为 (0.8%, 5.7%)，指示了真实的缺陷率范围。

A/B 测试

数字营销使用置信区间来比较转化率。不重叠的置信区间提供了变体之间存在真实差异的证据。

常见问题

什么是比例置信区间？

比例置信区间根据样本数据为真实的总体比例提供了一个合理的取值范围。例如，如果您调查了 100 人，其中 60 人偏好产品 A，那么 95% 的置信区间可能是 (0.50, 0.70)，这意味着我们有 95% 的把握确定真实的总体偏好率在 50% 到 70% 之间。

Wald 方法和 Wilson 方法有什么区别？

Wald 方法使用简单的正态近似公式，但在小样本或极端比例下表现较差。Wilson score 方法对这些问题进行了修正，提供了更好的覆盖概率。在大多数实际应用中，推荐使用 Wilson 方法。

我什么时候应该使用 Wilson 而不是 Wald？

当样本量较小 (n < 30)、比例接近 0 或 1、需要准确的概率或进行关键决策时，请使用 Wilson score 区间。Wald 仅适用于比例适中的大样本，而 Wilson 总是更好的选择。

我应该使用哪个置信水平？

95% 是最常见的，适用于大多数场景。对于需要更高确定性的关键决策，请使用 99%；若希望获得更窄的区间且能接受更多不确定性，请使用 90%。

如何解释误差幅度？

误差幅度 (MOE) 代表样本比例与真实总体比例之间预期的最大可能差异。如果样本比例为 60%，误差幅度为 ±5%，则真实值可能在 55% 到 65% 之间。

为了获得较窄的置信区间，我需要多大的样本量？

样本量极大地影响区间宽度。对于 95% 置信水平和 ±5% 误差幅度，大约需要 385 个样本。±3% 需要约 1,068 个样本，±1% 则需要近 9,604 个样本。

更多资源

• 二项比例置信区间 - 维基百科
• 置信区间 - 维基百科