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점과 평면 거리 계산기

점 (x₀, y₀, z₀)에서 평면 Ax + By + Cz + D = 0까지의 최단 수직 거리를 계산합니다. 단계별 솔루션, 수선의 발, 대화형 3D 시각화 및 기하학적 분석 결과를 제공합니다.

점과 평면 거리 계산기

예제 시도하기:

기본형 (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 원점 → z=5 평면 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0
P 점 좌표
π 평면 방정식: Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By + Cz + D = 0

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점과 평면 거리 계산기 정보

점과 평면 거리 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 도구는 한 점으로부터 평면까지의 최단 수직 거리를 계산하는 대화형 3D 기하학 도구로, 단계별 공식 풀이, 수선의 발 좌표, 회전 가능한 3D 시각화 및 상세한 기하학적 분석을 제공합니다. 학생, 엔지니어, 또는 수학 애호가라면 누구든 이 도구를 통해 3D 거리 계산을 즉각적이고 시각적으로 수행할 수 있습니다.

점과 평면 사이의 거리 공식

점 \(P(x_0, y_0, z_0)\)에서 평면 \(Ax + By + Cz + D = 0\)까지의 수직(최단) 거리는 다음과 같습니다.

점과 평면 사이의 거리
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

여기서:

  • \(A, B, C\)는 평면의 법선 벡터(Normal Vector) 성분입니다.
  • \(D\)는 평면 방정식의 상수항입니다.
  • \((x_0, y_0, z_0)\)는 점의 좌표입니다.
  • 분모 \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\)는 법선 벡터의 크기입니다.

공식의 이해

왜 이 공식이 작동하나요?

이 거리 공식은 평면 위의 임의의 한 점에서 점 P까지의 벡터를 평면의 단위 법선 벡터 위로 투영함으로써 유도됩니다. Q가 평면 위의 임의의 점이라면, 수직 거리 d는 다음과 같습니다.

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

\(\vec{n} = (A, B, C)\)이고 평면 위의 점 Q는 \(Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0\)을 만족하므로, 내적은 \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\)로 단순화됩니다.

부호 있는 거리(Signed Distance)

절댓값을 제거하면 부호 있는 거리를 얻을 수 있습니다.

부호 있는 거리
$$d_{\text{signed}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
  • 양수: 점이 법선 벡터와 같은 방향(쪽)에 있습니다.
  • 음수: 점이 반대 방향(쪽)에 있습니다.
  • 0: 점이 평면 위에 정확히 위치합니다.

수선의 발 (Foot of Perpendicular)

수선의 발은 평면 위에서 주어진 점과 가장 가까운 지점입니다. 점 P에서 법선 벡터의 역방향으로 부호 있는 거리만큼 이동하여 찾습니다.

수선의 발
$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

여기서 \(\vec{n} = (A, B, C)\)는 법선 벡터입니다. 매개변수 \(t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\)는 평면에 도달하기 위해 P에서 법선 방향을 따라 얼마나 이동해야 하는지를 나타냅니다.

계산기 사용 방법

  1. 점 좌표 입력: 3D 공간에 있는 점의 x₀, y₀, z₀를 입력합니다. 음수와 소수점 입력을 지원합니다.
  2. 평면 방정식 입력: 평면 Ax + By + Cz + D = 0에 대한 A, B, C, D를 입력합니다. A, B, C 중 적어도 하나는 0이 아니어야 합니다.
  3. 정밀도 설정: 결과에 표시될 소수점 자릿수를 선택합니다.
  4. 계산하기 클릭: 거리, 수선의 발, 단위 법선, 단계별 풀이 과정 및 대화형 3D 시각화를 확인합니다.
  5. 3D 보기 활용: 시각화 화면을 드래그하여 회전시키며 기하학적 관계를 탐색합니다.

관련 거리 공식

공식설명차원
점과 평면\(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D
점과 직선 (2D)\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)2D
점과 점\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)3D
평행한 두 평면\(d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D

일반적인 응용 분야

컴퓨터 그래픽 및 게임 개발

점과 평면 사이의 거리는 충돌 감지(Collision Detection)에서 물체가 표면과 교차하는지 판단하는 데 필수적입니다. 또한 카메라에 보이는 물체를 결정하는 절두체 컬링(Frustum Culling) 및 그림자 매핑(Shadow Mapping) 알고리즘에 사용됩니다.

엔지니어링 및 CAD

엔지니어는 공차 분석(부품이 사양을 충족하는지 확인), 표면 편차 측정, 제조 분야의 품질 관리를 위해 이 계산을 사용합니다. CNC 장비는 공구 경로 계산을 위해 점과 평면 거리 데이터를 활용합니다.

물리학 및 항법

물리학에서 이 공식은 점전하에서 전도 평면까지의 거리를 계산하거나, 경사진 지형 위에서 항공기의 고도를 계산하는 데 도움을 줍니다. GPS 시스템은 기준 평면에 대한 위치 결정을 위해 유사한 계산을 사용합니다.

머신러닝 및 데이터 과학

서포트 벡터 머신(SVM)에서 클래스 간의 마진(Margin)은 데이터 포인트에서 분리 초평면(Hyperplane)까지의 거리로 계산됩니다. 이 개념은 3D 공식에서 고차원으로 자연스럽게 확장됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

점과 평면 사이의 거리를 구하는 공식은 무엇인가요?

점 P(x₀, y₀, z₀)에서 평면 Ax + By + Cz + D = 0까지의 수직 거리는 d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)입니다. 이는 평면에 항상 수직인 최단 거리를 나타냅니다.

점에서 평면에 내린 수선의 발이란 무엇인가요?

수선의 발은 평면 위에서 주어진 점과 가장 가까운 지점입니다. 법선 벡터를 따라 점을 평면에 투영하여 찾습니다: F = P − t·n, 여기서 t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²)이고 n = (A, B, C)입니다.

점과 평면 사이의 부호 있는 거리는 무엇을 의미하나요?

부호 있는 거리는 점이 평면의 어느 쪽에 있는지를 나타냅니다. 양수는 법선 벡터와 같은 쪽, 음수는 반대쪽을 의미하며, 0은 점이 평면 위에 있음을 의미합니다. 이는 충돌 감지 및 반공간 분류(Half-space Classification)에 유용합니다.

평면 방정식 Ax + By + Cz + D = 0을 어떻게 정의하나요?

계수 A, B, C는 평면의 법선 벡터를 형성하고, D는 평면의 위치를 정합니다. 평면 위의 한 점 Q와 법선 (A, B, C)가 주어지면, D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q)가 됩니다. 또한 외적을 사용하여 일직선상에 있지 않은 세 점으로부터 방정식을 유도할 수 있습니다.

이 공식이 2D(점과 직선 사이의 거리)에도 적용되나요?

네! 점 (x₀, y₀)에서 직선 Ax + By + C = 0까지의 거리를 구하는 2D 대응 공식은 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)입니다. 3D 공식은 이 개념을 고차원으로 확장한 것입니다.

추가 리소스

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miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026년 2월 18일

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