회전체 부피 계산기

함수와 구간, 회전축으로 회전체 부피를 원판·와셔법으로 한 번에 구합니다. 단계별 적분과 3D 회전체 도해를 보여 줍니다.

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회전체 부피 계산기 정보

회전체 부피 계산기는 2차원 영역을 축을 중심으로 회전시켜 형성된 3차원 입체의 부피를 계산합니다. 이는 적분학의 가장 중요한 응용 중 하나로, 엔진 실린더에서 위성 안테나에 이르기까지 회전 대칭을 가진 물체의 부피를 결정하기 위해 공학, 물리학 및 제조 분야에서 널리 사용됩니다.

세 가지 계산 방법

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원판법 (Disk Method)

축에 수직인 무한히 얇은 원형 디스크를 쌓습니다. x축을 중심으로 회전하는 단일 곡선에 가장 적합합니다: \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)

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와셔법 (Washer Method)

원판법과 비슷하지만 구멍이 있는 형태입니다. 두 곡선 사이의 영역에 사용됩니다: \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)

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원주각법 (Shell Method)

축 주위에 원통형 껍질을 감쌉니다. y축 중심의 회전에 이상적입니다: \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

회전체 부피 계산기 사용 방법

방법 선택 — 문제 설정에 따라 원판법, 와셔법 또는 원주각법을 선택합니다.
함수 입력 — 표준 수학 표기법(예: x^2, sqrt(x), sin(x))을 사용하여 함수 f(x)를 입력합니다. 와셔법의 경우 내부 함수 g(x)도 입력합니다.
범위 설정 — 적분의 하한(a)과 상한(b)을 입력합니다.
회전축 선택 — x축, y축 중에서 선택하거나 사용자 지정 축 값을 입력합니다.
부피 계산하기 클릭 — 단계별 MathJax 공식, 인터랙티브 3D 시각화 및 세 가지 방법 비교 결과를 확인합니다.

각 방법의 사용 시기

시나리오	최적의 방법	이유
x축을 중심으로 회전하는 단일 곡선	원판법	가장 간단한 설정 — f(x)만 필요
두 곡선 사이의 영역, x축 중심 회전	와셔법	외경과 내경을 자연스럽게 처리
y축을 중심으로 회전하는 곡선	원주각법	x를 y의 함수로 표현하기 위해 f(x)를 역함수로 바꿀 필요가 없음
역함수를 구하기 어려운 함수	원주각법	y에 대해 x를 풀 필요가 없음
회전축이 수평인 경우	원판법/와셔법	원판이 수평축에 수직으로 배치됨
회전축이 수직인 경우	원주각법	원주각 껍질이 수직축을 자연스럽게 감쌈

주요 예시

모양	함수	범위	부피
원뿔	f(x) = x	[0, r]	\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
구	f(x) = √(r² − x²)	[−r, r]	\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
포물면	f(x) = √x	[0, h]	\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
토러스 (도넛)	축 오프셋이 있는 와셔법	원	\( 2\pi^2 R r^2 \)

지원되는 함수

이 계산기는 다음과 같은 다양한 수학 표현식을 허용합니다:

다항식: x^2, x^3 + 2x, 3x^2 - x + 1
삼각함수: sin(x), cos(x), tan(x)
역삼각함수: asin(x), acos(x), atan(x)
지수/로그: exp(x), ln(x), log(x)
제곱근: sqrt(x)
상수: pi, e
조합: x^2 * sin(x), sqrt(x) + 1

자주 묻는 질문

회전체 부피란 무엇인가요?

회전체 부피(또는 회전체)는 2D 곡선이나 영역을 축을 중심으로 회전시켜 만든 3D 물체의 부피입니다. 원판법, 와셔법 또는 원주각법을 이용한 적분학을 통해 계산됩니다. 실생활의 예로는 병, 그릇, 꽃병, 엔진 피스톤 등이 있습니다.

원판법과 원주각법 중 언제 무엇을 사용해야 하나요?

회전축이 적분 변수에 수직인 경우(일반적으로 x에 대한 함수를 x축으로 회전할 때) 원판법을 사용합니다. 회전축이 적분 변수와 평행한 경우(일반적으로 x에 대한 함수를 y축으로 회전할 때) 원주각법을 사용합니다. 원주각법은 함수를 역함수로 변환하기 어려울 때 종종 더 유리합니다.

와셔법이란 무엇인가요?

와셔법은 두 곡선으로 둘러싸인 영역에 대한 원판법의 확장입니다. 공식 \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)를 사용하여 외부 입체의 부피에서 내부 입체의 부피를 뺍니다. 여기서 R(x)는 외경, r(x)는 내경입니다.

회전축은 어떻게 선택하나요?

가장 일반적인 축은 x축(y = 0)과 y축(x = 0)입니다. 또한 임의의 수평선 y = k 또는 수직선 x = k를 축으로 설정할 수도 있습니다. 축의 선택은 계산의 편의성과 적분식의 반지름 표현을 결정합니다.

이 계산기는 어떤 함수를 지원하나요?

이 계산기는 다항식(x^2, x^3), 삼각함수(sin, cos, tan), 지수 및 로그 함수(exp, ln, log), 제곱근(sqrt) 및 표준 산술 연산자의 조합을 지원합니다. 변수로 x를 사용하세요.

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miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-04

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