연분수 계산기

연분수 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 강력한 도구는 모든 소수, 분수 또는 제곱근을 연분수 표현으로 변환합니다. 유명한 표기법인 [a₀; a₁, a₂, ...]를 확인하고, 유리수 근사치(근사분수)를 탐색하며, 대화형으로 중첩된 분수 구조를 시각화해 보세요.

연분수란 무엇입니까?

연분수는 숫자를 정수 부분과 분수가 중첩된 수열로 표현하는 방식입니다.

여기서 a₀, a₁, a₂, ...는 부분 몫이라고 불리는 비음의 정수입니다. 표준 표기법은 [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]입니다. 몇 가지 주목할 만한 예시는 다음과 같습니다.

• π (원주율) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — 292라는 숫자는 파이가 355/113에 의해 매우 잘 근사됨을 의미합니다.
• φ (황금비) = [1; 1, 1, 1, ...] — 가장 천천히 수렴하는 연분수입니다.
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — 라그랑주 정리에 의해 예측된 바와 같이 순환합니다.
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — 아름다운 패턴을 보입니다.

알고리즘 작동 방식

모든 소수 x에 대하여

1. a₀ = ⌊x⌋ (x의 바닥 함수)를 계산합니다.
2. x₁ = 1/(x − a₀)로 설정한 다음, a₁ = ⌊x₁⌋를 계산합니다.
3. 반복: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. 소수 부분이 0이 되거나(유리수), 충분한 항을 얻었을 때 중단합니다.

분수 p/q에 대하여 (유클리드 호제법)

분수의 경우, 알고리즘은 GCD를 구하는 유클리드 호제법과 동일합니다.

유클리드 호제법의 각 나눗셈 단계는 연분수의 부분 몫 하나를 생성합니다.

근사분수: 최적의 유리수 근사치

근사분수(Convergents) pₙ/qₙ는 각 단계에서 연분수를 절단하여 얻습니다. 이들은 놀라운 특성을 만족합니다: pₙ/qₙ는 분모가 qₙ 이하인 유리수 중에서 x에 대한 가장 정확한 근사치입니다.

순환 연분수

라그랑주 정리에 따르면, 실수가 순환 연분수를 갖는 것은 그것이 이차 무리수(정수 계수 이차 방정식의 근)일 때뿐입니다. 여기에는 완전제곱수가 아닌 모든 정수의 제곱근이 포함됩니다.

• √2 = [1; 2] — 주기 길이 1
• √3 = [1; 1, 2] — 주기 길이 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — 주기 길이 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — 주기 길이 16

이 계산기 사용 방법

1. 값 입력: 소수(예: 2.71828), 분수(예: 355/113), 또는 제곱근(예: sqrt(7))을 입력합니다.
2. 최대 항수 설정: 항수가 많을수록 더 많은 부분 몫과 근사분수가 생성됩니다.
3. 계산하기 클릭: 연분수 표기법, 애니메이션 항, 시각화, 근사분수 표 및 유클리드 단계(분수의 경우)를 확인합니다.

자주 묻는 질문

연분수란 무엇입니까?

연분수는 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) 형태의 식으로, 여기서 a₀, a₁, a₂, ...는 부분 몫이라 불리는 정수입니다. 모든 실수는 연분수 전개가 가능합니다. 유리수는 유한한 전개를 가지며, 무리수는 무한한 전개를 가집니다. 제곱근과 같은 이차 무리수는 순환 전개를 가집니다.

소수를 연분수로 어떻게 변환합니까?

첫 번째 항으로 정수 부분(floor)을 취합니다. 숫자에서 그 부분을 빼고 역수를 취한 뒤 과정을 반복합니다. 예를 들어, π ≈ 3.14159...의 경우: 정수 = 3, 나머지 = 0.14159..., 역수 = 7.062..., 정수 = 7, 나머지 = 0.062..., 역수 = 15.996..., 정수 = 15 순으로 진행되어 [3; 7, 15, ...]를 얻습니다.

왜 sqrt(2)는 순환 연분수를 가집니까?

라그랑주 정리에 의해, 실수는 이차 무리수일 때만 순환 연분수를 가집니다. √2는 x² = 2를 만족하므로 이차 무리수이며, [1; 2, 2, 2, ...]를 생성합니다. 황금비 φ = (1 + √5)/2는 [1; 1, 1, 1, ...]을 생성하며 이는 가능한 가장 단순한 주기입니다.

근사분수란 무엇이며 왜 중요합니까?

근사분수는 연분수를 중간에 잘라서 만든 분수입니다. 이들은 최적의 유리수 근사치입니다. 분모가 더 작은 어떤 분수도 대상 숫자에 더 가까울 수 없습니다. 이것이 22/7과 355/113이 π의 유명한 근사치인 이유입니다. 이들은 π의 연분수 전개에서 나온 근사분수들입니다.

연분수 알고리즘은 유클리드 호제법과 어떤 관련이 있습니까?

입력값이 분수 p/q인 경우, 연분수를 계산하는 것은 유클리드 호제법과 동일합니다. 각 나머지-몫 단계는 정확히 하나의 부분 몫을 생성합니다. 연분수는 최대공약수(GCD)를 찾았을 때 정확히 종료됩니다.

추가 자료

• 연분수 - 위키백과
• 근사분수 - Wikipedia (영문)
• 유클리드 호제법 - 위키백과