삼중 적분 계산기

삼중 적분 계산기 정보

삼중 적분 계산기에 오신 것을 환영합니다. 상세한 단계별 풀이와 3D 시각화를 갖춘 삼중 적분 계산을 위한 종합적인 도구입니다. 다변수 미적분학을 공부하거나 물리 문제를 풀거나 엔지니어링 응용 작업을 하는 경우에도, 이 계산기는 정적분 및 부정적분 삼중 적분 모두에 대해 정확한 기호 계산을 제공합니다.

삼중 적분이란 무엇인가요?

삼중 적분은 적분의 개념을 3차원으로 확장한 것입니다. 3차원 영역에 대해 함수 $f(x, y, z)$의 적분을 계산하며 다음과 같이 표기합니다.

삼중 적분은 다변수 미적분학의 기초이며 물리, 공학 및 응용 수학에서 수많은 응용 분야를 가지고 있습니다.

삼중 적분의 작동 원리

반복 적분

직사각형 영역에 대한 삼중 적분은 세 번의 연속적인 단일 적분을 수행하여 평가됩니다.

1. 안쪽 적분: $x$와 $y$를 상수로 취급하면서 가장 안쪽 변수(예: $z$)에 대해 적분합니다.
2. 중간 적분: $x$를 상수로 취급하면서 결과를 중간 변수(예: $y$)에 대해 적분합니다.
3. 바깥쪽 적분: 가장 바깥쪽 변수(예: $x$)에 대해 적분합니다.

푸비니 정리

상수 한계가 있는 직사각형 영역에 대한 연속 함수의 경우 적분 순서를 변경해도 결과에 영향을 미치지 않습니다. 이를 푸비니 정리라고 합니다. 그러나 직사각형이 아닌 영역의 경우 적분 순서와 한계값에 주의를 기울여야 합니다.

이 계산기 사용 방법

1. 함수 입력: 적분할 함수 $f(x, y, z)$를 입력합니다. x*y*z, sin(x)*cos(y), exp(-x^2-y^2-z^2)와 같은 표준 표기법을 사용하세요.
2. 변수 지정: 적분의 세 변수를 정의합니다. 바깥쪽 적분은 첫 번째 변수를, 중간은 두 번째 변수를, 안쪽은 세 번째 변수를 사용합니다.
3. 한계 설정(선택 사항): 각 변수에 대해 하한과 상한을 입력합니다. 부정적분의 경우 비워 두세요. pi, pi/2 또는 수치와 같은 표현식을 지원합니다.
4. 계산: "삼중 적분 계산"을 클릭하여 단계별 풀이와 시각화를 확인하세요.

지원되는 함수 및 표기법

• 산술 연산: +, -, *, /, ^ (거듭제곱)
• 삼각 함수: sin, cos, tan, sinh, cosh
• 지수/로그: exp, ln
• 상수: pi, e
• 암시적 곱셈: 2x는 2*x로 해석됩니다.

삼중 적분의 응용

좌표계

데카르트 좌표계

$(x, y, z)$ 좌표를 사용하는 기본 시스템입니다. 직사각형 영역 및 명백한 대칭이 없는 함수에 가장 적합합니다.

원통 좌표계

$(r, \theta, z)$를 사용하며 여기서 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$입니다. 부피 요소는 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$가 됩니다. 원형 또는 원통형 대칭이 있는 문제에 이상적입니다.

구면 좌표계

$(\rho, \phi, \theta)$를 사용하며 여기서 $x = \rho\sin\phi\cos\theta, y = \rho\sin\phi\sin\theta, z = \rho\cos\phi$입니다. 부피 요소는 $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$입니다. 구형 영역에 가장 적합합니다.

자주 묻는 질문

삼중 적분이란 무엇인가요?

삼중 적분은 적분을 3차원으로 확장한 것으로, 3차원 영역에 대해 함수 $f(x,y,z)$를 적분하는 것을 계산합니다. $\iiint f(x,y,z) \, dV$로 표기하며 부피, 질량, 질량 중심 및 3D 물체의 기타 특성을 계산하는 데 사용됩니다.

삼중 적분은 어떻게 계산하나요?

삼중 적분은 가장 안쪽 적분부터 시작하여 바깥쪽으로 세 번의 연속적인 단일 적분을 수행하여 계산합니다. 직사각형 영역의 경우, 다른 변수를 상수로 취급하면서 한 변수에 대해 적분한 다음 나머지 변수에 대해 이 과정을 반복합니다.

삼중 적분의 적분 순서는 무엇인가요?

적분 순서는 어떤 변수를 먼저 적분할지를 나타냅니다. 일반적인 순서로는 $dz \, dy \, dx, dy \, dz \, dx$ 등이 있습니다. 상수 한계가 있는 직사각형 영역의 경우 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않지만(푸비니 정리), 직사각형이 아닌 영역의 경우 순서를 변경하면 계산이 단순해질 수 있습니다.

삼중 적분은 언제 사용해야 하나요?

삼중 적분은 3차원 물체의 특성을 계산할 때 사용됩니다: 입체의 부피, 가변 밀도를 가진 물체의 질량, 질량 중심, 관성 모멘트, 전하 분포 및 3D 영역에 대한 함수의 평균값 등입니다.

정적분 삼중 적분과 부정적분 삼중 적분의 차이점은 무엇인가요?

삼중 정적분은 세 변수 모두에 특정 한계가 있으며 수치를 생성합니다. 삼중 부정적분은 한계가 없으며 함수(부정적분)와 적분 상수를 생성합니다. 정적분이 더 일반적입니다.

삼중 적분을 다른 좌표계로 변환할 수 있나요?

예, 영역이나 피적분 함수에 상응하는 대칭성이 있을 때 삼중 적분을 원통 좌표계 $(r, \theta, z)$나 구면 좌표계 $(\rho, \phi, \theta)$로 변환할 수 있습니다. 이는 종종 계산을 크게 단순화합니다. 좌표를 변경할 때는 야코비안 행렬식을 포함해야 합니다.

추가 리소스

• 다중 적분 - 위키백과
• 다변수 미적분학 - 칸아카데미

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