複素数電卓

Q: 直交形式と極形式の間でどのように変換しますか？

直交形式（a+bi）から極形式（r∠θ）に変換するには：絶対値 r = √(a² + b²) を計算し、偏角 θ = arctan(b/a) を計算します。極形式から直交形式に変換するには：実部 a = r·cos(θ) を計算し、虚部 b = r·sin(θ) を計算します。

Q: 複素数のn乗根をどのように求めますか？

z = r∠θ の n 個の n 乗根を求めるには、公式 root_k = r^(1/n) ∠ ((θ + 2πk)/n) （k = 0, 1, 2, ..., n-1）を使用します。これにより、複素平面上の半径 r^(1/n) の円の周上に等間隔に配置された n 個の異なる根が得られます。

複素数の演算（加算、減算、乗算、除算）、形式の変換、絶対値、偏角、共役、累乗、累乗根の計算を、詳細なステップバイステップの解決策とインタラクティブな複素平面の視覚化とともに行います。

複素数電卓

クイック例 - クリックして試す

+ 加算 (3+4i)+(1-2i)

- 減算 (5+3i)-(2+i)

× 乗算 (2+3i)×(4-i)

÷ 除算 (6+8i)÷(3-4i)

|z| 絶対値 |3+4i|

∠ 偏角 arg(1+i)

z̄ 共役 conj(4-3i)

→∠ 極形式へ 3+4i → r∠θ

→z 直交形式へ 5∠53° → a+bi

zⁿ 累乗 (1+i)⁴

ⁿ√ 累乗根 ³√8

z₁ 最初の複素数

直交形式 (a+bi) または極形式 (r∠θ°) を受け付けます

⚙ 演算

z₂ 2番目の複素数

n 指数 / 次数

累乗または累乗根の演算には正の整数を指定してください

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複素数電卓

複素数電卓へようこそ。これは、複素数の演算をステップバイステップの解決策とインタラクティブな視覚化とともに行うことができる強力な数学ツールです。虚数について学んでいる学生、交流回路を分析しているエンジニア、あるいは複素平面を探索している数学者であっても、この電卓はあらゆる複素数計算のための包括的なソリューションを提供します。

複素数とは何ですか？

複素数とは、$ a + bi $ の形式で表すことができる数です。ここで、$ a $ と $ b $ は実数であり、$ i $ は $ i^2 = -1 $ を満たす虚数単位です。$ a $ は複素数の実部、$ b $ は虚部と呼ばれます。

直交形式

$ z = a + bi $ と書かれ、複素平面上の座標 (a, b) を持つ点を表します。

極形式

$ z = r \angle \theta $ または $ z = re^{i\theta} $ と書かれます。ここで r は絶対値、θ は偏角です。

虚数単位

記号 $ i $ は $ \sqrt{-1} $ を表し、$ x^2 + 1 = 0 $ のような方程式の解を可能にします。

サポートされている演算

算術演算

加算

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

減算

$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

乗算

$$(a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

除算

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

複素数の性質

絶対値: $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ - 原点からの距離
偏角: $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ - 正の実軸とのなす角
共役: $ \overline{z} = a - bi $ - 実軸に関する対称移動

形式の変換

直交形式から極形式

$$z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

極形式から直交形式

$$z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta$$

累乗と累乗根

ド・モアブルの定理（累乗）

$$(r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta)$$

n乗根

$$\sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1$$

この電卓の使い方

複素数を入力する: 直交形式（例：3+4i、-2-5i）または極形式（例：5∠45°、3∠π/4）を使用します。電卓は形式を自動検出します。
演算を選択する: 算術演算、変換、または絶対値、偏角、累乗、累乗根などの関数から選択します。
追加の入力を入力する: 二項演算の場合は、2番目の複素数を入力します。累乗/累乗根の場合は、指数を入力します。
「計算」をクリック: 直交形式と極形式の両方の結果を、詳細なステップバイステップの解決策と複素平面の視覚化とともに表示します。

複素数の応用

電気工学

交流回路解析では、複素インピーダンスを使用して抵抗、静電容量、インダクタンスを表します。

信号処理

フーリエ変換では、複素指数関数を使用して信号を分析しフィルタリングします。

量子力学

波動関数は複素数値であり、確率は絶対値の2乗によって与えられます。

制御システム

複素平面上の極と零点がシステムの安定性と応答を決定します。

よくある質問

複素数とは何ですか？

複素数とは、a + bi の形式で表すことができる数です。ここで、a と b は実数であり、i は i² = -1 を満たす虚数単位です。実部は「a」、虚部は「b」です。複素数は実数システムを拡張したものであり、数学、物理学、工学の多くの分野で不可欠です。

直交形式と極形式の間でどのように変換しますか？

直交形式（a+bi）から極形式（r 角度 θ）に変換するには：絶対値 r = sqrt(a² + b²) を計算し、偏角 θ = arctan(b/a) を計算します。極形式から直交形式に変換するには：実部 a = r × cos(θ) を計算し、虚部 b = r × sin(θ) を計算します。

ド・モアブルの定理とは何ですか？

ド・モアブルの定理は、極形式の複素数 z = r(cos θ + i sin θ) と任意の整数 n に対して、z^n = r^n(cos(n × θ) + i sin(n × θ)) が成り立つことを示しています。この定理により、複素数の累乗や累乗根の計算において、繰り返し乗算を行う代わりに極形式を用いることで計算が非常に簡略化されます。

複素数のn乗根をどのように求めますか？

z = r 角度 θ の n 個の n 乗根を求めるには、公式 root_k = r^(1/n) 角度 ((θ + 2 π k)/n) （k = 0, 1, 2, ..., n-1）を使用します。これにより、複素平面上の半径 r^(1/n) の円の周上に等間隔に配置された n 個の異なる根が得られます。