Calcolatore di Funzioni Iperboliche

L'identità iperbolica fondamentale

Proprio come le funzioni trigonometriche soddisfano $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, le funzioni iperboliche soddisfano l'identità fondamentale:

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

Questa identità può essere verificata per qualsiasi valore reale di x ed è una conseguenza diretta delle definizioni esponenziali di cosh e sinh.

Dominio e Codominio delle Funzioni Iperboliche

Come usare questo calcolatore

1. Inserisci il valore di input: Digita un numero nel campo di input. Può essere qualsiasi numero reale per sinh, cosh, tanh e asinh. Per acosh, inserisci un valore maggiore o uguale a 1. Per atanh, inserisci un valore compreso tra -1 e 1.
2. Seleziona la funzione: Scegli tra sinh, cosh, tanh (funzioni dirette) o asinh, acosh, atanh (funzioni inverse) utilizzando le schede delle funzioni o il menu a discesa.
3. Imposta la precisione: Inserisci il numero desiderato di cifre decimali (1-1000) o scegli tra i valori preimpostati come 10, 50, 100 o 500 cifre decimali.
4. Calcola e visualizza i risultati: Fai clic su Calcola per vedere il risultato con la precisione scelta, insieme ai calcoli passo dopo passo, un grafico interattivo e i valori delle funzioni correlate.

Applicazioni delle funzioni iperboliche

Domande frequenti

Cosa sono le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche sono analoghi delle funzioni trigonometriche ma basate sull'iperbole unitaria $x^2 - y^2 = 1$ invece che sul cerchio unitario. Le principali funzioni iperboliche sono sinh (seno iperbolico), cosh (coseno iperbolico) e tanh (tangente iperbolica), definite utilizzando funzioni esponenziali.

Qual è la formula di sinh(x)?

Il seno iperbolico è definito come $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. È una funzione dispari con dominio e codominio che coprono tutti i numeri reali. $\sinh(0) = 0$.

Qual è l'identità iperbolica fondamentale?

L'identità iperbolica fondamentale è $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, che è analoga all'identità trigonometrica $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Questa identità può essere verificata per qualsiasi valore reale di x.

Dove vengono utilizzate le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche compaiono in molte aree tra cui: fisica (relatività speciale, equazioni delle onde), ingegneria (curve catenarie, elaborazione dei segnali), architettura (ponti sospesi, archi) e apprendimento automatico (funzioni di attivazione tanh nelle reti neurali).

Qual è il dominio di acosh(x)?

Il coseno iperbolico inverso acosh(x) è definito solo per $x \geq 1$, perché cosh(x) restituisce sempre valori maggiori o uguali a 1. Il codominio di acosh è $[0, +\infty)$.

Riferimenti

• Funzioni iperboliche - Wikipedia
• Hyperbolic Functions - Wolfram MathWorld
• Catenaria - Wikipedia
• Funzione di attivazione - Wikipedia