Calcolatore di Funzioni Iperboliche

Q: Cosa sono le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche sono analoghi delle funzioni trigonometriche ma basate sull'iperbole unitaria x^2 - y^2 = 1 invece che sul cerchio unitario. Le principali funzioni iperboliche sono sinh (seno iperbolico), cosh (coseno iperbolico) e tanh (tangente iperbolica), definite utilizzando funzioni esponenziali.

Q: Qual è la formula di sinh(x)?

Il seno iperbolico è definito come sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2. È una funzione dispari con dominio e codominio che coprono tutti i numeri reali. sinh(0) = 0.

Q: Qual è l'identità iperbolica fondamentale?

L'identità iperbolica fondamentale è cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1, che è analoga all'identità trigonometrica cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Questa identità può essere verificata per qualsiasi valore reale di x.

Q: Dove vengono utilizzate le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche compaiono in molte aree tra cui: fisica (relatività speciale, equazioni delle onde), ingegneria (curve catenarie, elaborazione dei segnali), architettura (ponti sospesi, archi) e apprendimento automatico (funzioni di attivazione tanh nelle reti neurali).

Q: Qual è il dominio di acosh(x)?

Il coseno iperbolico inverso acosh(x) è definito solo per x >= 1, perché cosh(x) restituisce sempre valori >= 1. Il codominio di acosh è [0, infinito).

Calcola le funzioni iperboliche (sinh, cosh, tanh) e i loro inversi (asinh, acosh, atanh) con precisione regolabile da 1 a 1000 cifre decimali. Include soluzioni passo-passo, grafici interattivi e verifica dell'identità.

Calcolatore di Funzioni Iperboliche

Esempi Rapidi

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sinh

Seno Iperbolico

cosh

Cosseno Iperbolico

tanh

Tangente Iperbolica

asinh

sinh Inverso

acosh

cosh Inverso (x>=1)

atanh

tanh Inverso (-1<x<1)

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Precisione (cifre decimali)

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Calcolatore di Funzioni Iperboliche

Benvenuti nel Calcolatore di Funzioni Iperboliche, un potente strumento online per calcolare le funzioni iperboliche con una precisione eccezionale. Calcola sinh, cosh, tanh e i loro inversi (asinh, acosh, atanh) con un massimo di 1000 cifre decimali di accuratezza, completo di soluzioni passo dopo passo e visualizzazioni interattive.

Cosa sono le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche sono funzioni matematiche analoghe alle comuni funzioni trigonometriche, ma definite utilizzando l'iperbole invece del cerchio. Mentre le funzioni trigonometriche si riferiscono a punti sul cerchio unitario $x^2 + y^2 = 1$, le funzioni iperboliche si riferiscono a punti sull'iperbole unitaria $x^2 - y^2 = 1$.

Le tre principali funzioni iperboliche sono:

Seno Iperbolico (sinh): Definito come $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
Coseno Iperbolico (cosh): Definito come $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
Tangente Iperbolica (tanh): Definita come $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

Formule delle funzioni iperboliche

Seno Iperbolico

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

Coseno Iperbolico

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Tangente Iperbolica

$$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Seno Iperbolico Inverso

$$\text{asinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$

Coseno Iperbolico Inverso

$$\text{acosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$

Tangente Iperbolica Inversa

$$\text{atanh}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$

L'identità iperbolica fondamentale

Proprio come le funzioni trigonometriche soddisfano $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, le funzioni iperboliche soddisfano l'identità fondamentale:

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

Questa identità può essere verificata per qualsiasi valore reale di x ed è una conseguenza diretta delle definizioni esponenziali di cosh e sinh.

Dominio e Codominio delle Funzioni Iperboliche

Funzione	Dominio	Codominio	Parità
sinh(x)	Tutti i numeri reali	Tutti i numeri reali	Dispari
cosh(x)	Tutti i numeri reali	[1, +infinito)	Pari
tanh(x)	Tutti i numeri reali	(-1, 1)	Dispari
asinh(x)	Tutti i numeri reali	Tutti i numeri reali	Dispari
acosh(x)	[1, +infinito)	[0, +infinito)	Nessuna
atanh(x)	(-1, 1)	Tutti i numeri reali	Dispari

Come usare questo calcolatore

Inserisci il valore di input: Digita un numero nel campo di input. Può essere qualsiasi numero reale per sinh, cosh, tanh e asinh. Per acosh, inserisci un valore maggiore o uguale a 1. Per atanh, inserisci un valore compreso tra -1 e 1.
Seleziona la funzione: Scegli tra sinh, cosh, tanh (funzioni dirette) o asinh, acosh, atanh (funzioni inverse) utilizzando le schede delle funzioni o il menu a discesa.
Imposta la precisione: Inserisci il numero desiderato di cifre decimali (1-1000) o scegli tra i valori preimpostati come 10, 50, 100 o 500 cifre decimali.
Calcola e visualizza i risultati: Fai clic su Calcola per vedere il risultato con la precisione scelta, insieme ai calcoli passo dopo passo, un grafico interattivo e i valori delle funzioni correlate.

Applicazioni delle funzioni iperboliche

Fisica e Relatività

Nella relatività speciale, le funzioni iperboliche descrivono la relazione tra velocità e rapidità. Il fattore di Lorentz coinvolge cosh e l'addizione di velocità usa tanh. Compaiono anche nelle soluzioni dell'equazione delle onde e dell'equazione del calore.

Ingegneria: Curve Catenarie

Una catena o un cavo sospesi formano una curva catenaria descritta dall'equazione $y = a \cosh(x/a)$. Questa forma appare nei ponti sospesi, nelle linee elettriche e nel Gateway Arch di St. Louis.

Apprendimento automatico

La funzione tanh è ampiamente utilizzata come funzione di attivazione nelle reti neurali. Mappa i valori di input nell'intervallo (-1, 1), aiutando le reti ad apprendere relazioni non lineari mantenendo i gradienti limitati.

Domande frequenti

Cosa sono le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche sono analoghi delle funzioni trigonometriche ma basate sull'iperbole unitaria $x^2 - y^2 = 1$ invece che sul cerchio unitario. Le principali funzioni iperboliche sono sinh (seno iperbolico), cosh (coseno iperbolico) e tanh (tangente iperbolica), definite utilizzando funzioni esponenziali.

Qual è la formula di sinh(x)?

Il seno iperbolico è definito come $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. È una funzione dispari con dominio e codominio che coprono tutti i numeri reali. $\sinh(0) = 0$.

Qual è l'identità iperbolica fondamentale?

L'identità iperbolica fondamentale è $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, che è analoga all'identità trigonometrica $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Questa identità può essere verificata per qualsiasi valore reale di x.

Dove vengono utilizzate le funzioni iperboliche?

Le funzioni iperboliche compaiono in molte aree tra cui: fisica (relatività speciale, equazioni delle onde), ingegneria (curve catenarie, elaborazione dei segnali), architettura (ponti sospesi, archi) e apprendimento automatico (funzioni di attivazione tanh nelle reti neurali).

Qual è il dominio di acosh(x)?

Il coseno iperbolico inverso acosh(x) è definito solo per $x \geq 1$, perché cosh(x) restituisce sempre valori maggiori o uguali a 1. Il codominio di acosh è $[0, +\infty)$.

Riferimenti

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"Calcolatore di Funzioni Iperboliche" su https://MiniWebtool.com/it/calcolatore-di-funzioni-iperboliche/ di MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

dal team di miniwebtool. Aggiornato il: 13 gennaio 2026

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