集合论计算器
执行集合运算，包括并集 (A ∪ B)、交集 (A ∩ B)、差集 (A − B)、对称差 (A ∆ B)、笛卡尔积 (A × B)、幂集和补集。通过交互式韦恩图进行可视化。
集合论计算器
定义您的集合
输入由逗号分隔的元素 —— 数字、字母或单词
⚡ 快速示例
元素用逗号分隔
元素用逗号分隔
集合 C 和全集 (可选)
用于三集运算和三集韦恩图
补集运算所需
✓ 集合运算已计算
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集合论计算器
什么是集合论？
集合论是数学逻辑的一个分支，研究被称为集合的对象全体。它由格奥尔格·康托尔在19世纪70年代创立，现已成为几乎所有现代数学的基础。集合由其成员定义——当且仅当两个集合包含完全相同的元素时，这两个集合相等。
- 离散数学 —— 组合数学、图论和形式语言的基础
- 计算机科学 —— 数据结构（HashSet, TreeSet）、数据库查询（JOIN = 交集，UNION = 并集）以及类型系统
- 概率论 —— 随机事件被建模为集合，并集和交集分别对应“或”和“与”事件
- 逻辑学 —— 韦恩图使逻辑关系可视化；集合运算映射逻辑运算符
如何使用此集合论计算器
输入每个集合的元素，用逗号分隔。您可以使用数字、字母、单词或任何文本作为元素。计算器将自动计算所有主要的集合运算并显示交互式韦恩图。
- 输入元素并用逗号分隔 —— 例如
1, 2, 3, 4, 5或apple, banana, cherry - 使用 集合 C（可选）进行三集运算和三集韦恩图
- 定义 全集 以计算补集 (Aᶜ, Bᶜ)
- 点击 韦恩图运算按钮 以突出显示不同区域
- 使用 属性选项卡 检查基数、子集关系和集合相等性
集合运算参考
| 运算 | 符号 | 描述 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 并集 | A ∪ B | 属于 A 或属于 B 的元素（或两者皆有） | {1,2,3} ∪ {3,4,5} = {1,2,3,4,5} |
| 交集 | A ∩ B | 同时属于 A 和 B 的元素 | {1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3} |
| 差集 | A − B | 属于 A 但不属于 B 的元素 | {1,2,3} − {3,4,5} = {1,2} |
| 对称差 | A ∆ B | 属于 A 或 B 但不同时属于两者的元素 | {1,2,3} ∆ {3,4,5} = {1,2,4,5} |
| 笛卡尔积 | A × B | 所有有序对 (a,b)，其中 a∈A, b∈B | {1,2} × {a,b} = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)} |
| 幂集 | ℘(A) | A 的所有可能子集 | ℘({1,2}) = {∅,{1},{2},{1,2}} |
| 补集 | Aᶜ | 属于全集但不属于 A 的元素 | 如果 U={1,2,3,4,5}, A={1,2} → Aᶜ={3,4,5} |
| 是否为子集 | A ⊆ B | A 中的每个元素是否也都在 B 中 | {1,2} ⊆ {1,2,3} = True |
主要集合论定律
这些基本定律规定了集合运算的交互方式，类似于数字的代数定律：
- 交换律： A ∪ B = B ∪ A 且 A ∩ B = B ∩ A
- 结合律： (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 且 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- 分配律： A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- 德·摩根定律： (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ 且 (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
- 同一律： A ∪ ∅ = A 且 A ∩ U = A
- 补余律： A ∪ Aᶜ = U 且 A ∩ Aᶜ = ∅
- 幂等律： A ∪ A = A 且 A ∩ A = A
集合论的应用
理解集合运算在许多领域至关重要：
- SQL 数据库 ——
UNION,INTERSECT,EXCEPT是对查询结果进行的集合运算 - Python 编程 ——
set类型支持|(并集),&(交集),-(差集) - 概率论 —— P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (容斥原理)
- 数字逻辑 —— 集合运算对应逻辑门操作 (或, 与, 非)
- 数据分析 —— 比较数据集、查找共同记录、识别唯一条目
引用此内容、页面或工具为：
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集合论计算器采用标准的集合论定义。欲了解更多信息，请参阅 集合论 - 维基百科。
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