เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดยใช้สูตรดอตโปรดักต์ cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) รับวิธีทำแบบละเอียด ผลลัพธ์ทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน แผนภาพเวกเตอร์แบบโต้ตอบ และการตีความทางเรขาคณิต

Embed เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ใช้สำหรับหามุมระหว่างสองเวกเตอร์ในรูปแบบ 2D หรือ 3D โดยใช้สูตรผลคูณจุด $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ เพียงป้อนส่วนประกอบของเวกเตอร์เพื่อรับมุมในหน่วยองศาและเรเดียนทันที พร้อมการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน ขนาดเวกเตอร์ ผลคูณจุด เวกเตอร์หนึ่งหน่วย การฉาย การตีความทางเรขาคณิต และแผนภาพแบบโต้ตอบที่สามารถเปิดปิดเลเยอร์ได้

สูตรมุมผลคูณจุด

มุม $\theta$ ระหว่างสองเวกเตอร์ $\vec{a}$ และ $\vec{b}$ มาจากเอกลักษณ์ของผลคูณจุด:

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

โดยที่:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$ คือ ผลคูณจุด (dot product)
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}$ คือ ขนาด (magnitude) ของเวกเตอร์ a
$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)$ จะให้ค่ามุมระหว่าง 0° ถึง 180°

การทำความเข้าใจเครื่องหมายของผลคูณจุด

✓

a · b > 0

มุมแหลม (0° < θ < 90°) — เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกัน

⊥

a · b = 0

มุมฉาก (θ = 90°) — เวกเตอร์ตั้งฉากกัน (perpendicular / orthogonal)

↔

a · b < 0

มุมป้าน (90° < θ < 180°) — เวกเตอร์ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม

การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง

🎮

พัฒนาเกม

การตรวจสอบมุมมอง (Field-of-view) และมุมของแสง

🤖

Machine Learning

Cosine similarity วัดความคล้ายคลึงของข้อความ/เอกสาร

🔧

ฟิสิกส์

งาน = F·d·cos θ สำหรับแรงตามแนวการกระจัด

📡

การประมวลผลสัญญาณ

มุมเฟสระหว่างเวกเตอร์สัญญาณ

🏗

วิศวกรรม

การวิเคราะห์โครงสร้างของทิศทางแรง

🧬

ชีวสารสนเทศ

ความคล้ายคลึงของเวกเตอร์การแสดงออกของยีน

สูตรสำคัญ

สูตร	นิพจน์	คำอธิบาย
ผลคูณจุด (2D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2$	ผลรวมของผลคูณตามส่วนประกอบ
ผลคูณจุด (3D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$	ขยายเป็นสามส่วนประกอบ
ขนาด	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$	ความยาว (norm) ของเวกเตอร์
มุม	$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right)$	อยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° เสมอ
Cosine Similarity	$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$	เหมือนกับ cos θ — มีค่าตั้งแต่ −1 ถึง 1
การฉายเวกเตอร์	$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}$	ส่วนประกอบของ a ตามแนว b

วิธีใช้เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

ป้อนเวกเตอร์ a: พิมพ์ส่วนประกอบคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ใช้ 2 ส่วนประกอบสำหรับ 2D (เช่น 3, 4) หรือ 3 ส่วนประกอบสำหรับ 3D (เช่น 1, 2, 3) คลิกตัวอย่างด่วนเพื่อเติมข้อมูลอัตโนมัติทั้งสองช่อง
ป้อนเวกเตอร์ b: พิมพ์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่สองในมิติเดียวกับเวกเตอร์ a
ดูตัวอย่างสด: แผนภาพจะอัปเดตแบบเรียลไทม์ แสดงทั้งเวกเตอร์และมุมที่คำนวณได้ในขณะที่คุณพิมพ์
คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อรับผลลัพธ์ฉบับเต็ม รวมถึงมุมในหน่วยองศาและเรเดียน วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน ปริมาณที่เกี่ยวข้องทั้งหมด และแผนภาพแบบโต้ตอบ
สำรวจแผนภาพ: เปิดปิดเลเยอร์ (ส่วนโค้งมุม, การฉาย, ตาราง, ป้ายกำกับ) เพื่อการแสดงผลที่แตกต่างกัน สำหรับเวกเตอร์ 3D ให้ลากเพื่อหมุนมุมมอง

เวกเตอร์ 2D เทียบกับ 3D

สูตรมุมผลคูณจุดทำงานเหมือนกันทุกประการทั้งใน 2D และ 3D — ต่างกันเพียงจำนวนส่วนประกอบเท่านั้น ใน 2D เวกเตอร์จะมีส่วนประกอบ (x, y) และแผนภาพจะแสดงระนาบ Cartesian แบบแบนพร้อมส่วนโค้งมุมที่ชัดเจน ใน 3D เวกเตอร์จะมีส่วนประกอบ (x, y, z) และแผนภาพจะมีมุมมองไอโซเมตริกที่โต้ตอบและหมุนได้ หลักการทางคณิตศาสตร์ยังเหมือนเดิม: คำนวณผลคูณจุด หารด้วยผลคูณของขนาด และหาค่า arccosine

FAQ

สูตรสำหรับหามุมระหว่างสองเวกเตอร์คืออะไร?

มุมระหว่างสองเวกเตอร์ a และ b หาได้โดยใช้สูตรผลคูณจุด: cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|) ขั้นแรกให้คำนวณผลคูณจุด (ผลรวมของผลคูณตามแต่ละส่วนประกอบ) จากนั้นหารด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง และสุดท้ายใช้ arccosine เพื่อให้ได้มุม θ

คุณสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ 2D ได้หรือไม่?

ได้ สูตรผลคูณจุดทำงานได้ในทุกมิติ สำหรับเวกเตอร์ 2D (x, y) ผลคูณจุดคือ a₁b₁ + a₂b₂ และขนาดจะใช้สองส่วนประกอบเดียวกัน สูตรและขั้นตอนจะเหมือนกับ 3D — เพียงแค่มีส่วนประกอบน้อยลงหนึ่งตัว

หมายความว่าอย่างไรเมื่อมุมระหว่างเวกเตอร์คือ 90 องศา?

เมื่อมุมเท่ากับ 90° เวกเตอร์จะตั้งฉากกัน (orthogonal) ผลคูณจุดของพวกมันจะเท่ากับศูนย์ หมายความว่าพวกมันไม่มีส่วนประกอบร่วมในทิศทางเดียวกัน แนวคิดนี้เป็นพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้น ฟิสิกส์ และ Machine Learning (ฟีเจอร์ที่ตั้งฉากกันจะเป็นอิสระต่อกัน)

ช่วงของมุมระหว่างสองเวกเตอร์คือเท่าใด?

มุมระหว่างสองเวกเตอร์จะอยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° (0 ถึง π เรเดียน) เสมอ ที่ 0° เวกเตอร์จะขนานและชี้ไปทางเดียวกัน ที่ 90° จะตั้งฉากกัน และที่ 180° จะชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามพอดี

ผลคูณจุดเกี่ยวข้องกับมุมระหว่างเวกเตอร์อย่างไร?

ผลคูณจุด a · b เท่ากับ |a| × |b| × cos(θ) ผลคูณจุดที่เป็นบวกหมายถึงมุมแหลม (น้อยกว่า 90°) ศูนย์หมายถึงเวกเตอร์ตั้งฉากกัน (90° พอดี) และผลคูณจุดที่เป็นลบหมายถึงมุมป้าน (มากกว่า 90°) เวอร์ชันมาตรฐานที่เรียกว่า cosine similarity ถูกใช้อย่างแพร่หลายใน NLP และระบบแนะนำ (recommendation systems)

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-10

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

สูตรมุมผลคูณจุด

การทำความเข้าใจเครื่องหมายของผลคูณจุด

การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง

สูตรสำคัญ

วิธีใช้เครื่องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์ 2D เทียบกับ 3D

FAQ

พีชคณิตเชิงเส้น:

เครื่องมือเด่น:

สูตร	นิพจน์	คำอธิบาย
ผลคูณจุด (2D)	\(a_1 b_1 + a_2 b_2\)	ผลรวมของผลคูณตามส่วนประกอบ
ผลคูณจุด (3D)	\(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)	ขยายเป็นสามส่วนประกอบ
ขนาด	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)	ความยาว (norm) ของเวกเตอร์
มุม	\(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right)\)	อยู่ระหว่าง 0° ถึง 180° เสมอ
Cosine Similarity	\(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	เหมือนกับ cos θ — มีค่าตั้งแต่ −1 ถึง 1
การฉายเวกเตอร์	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	ส่วนประกอบของ a ตามแนว b